專題二：三角函數、三角變換、解三角形、平面向量
第三講 平面向量
【最新考綱透析】
1．平面向量的實際背景及基本概念
（1）了解向量的實際背景。
（2）理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義。
（3）理解向量的幾何意義。
2．向量的線性運算
（1）掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義。
（2）掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義。
（3）了解向量線性運算的性質及其幾何意義。
3．平面向量的基本定理及坐標表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意義。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。
（3）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算。
（4）理解用坐標表示的平面向量共線的條件。
4．平面向量的數量積
（1）理解平面向量數量積的含義及 其物理意義 。
（2）了解平面向量的數量積與向量投影的關系。
（3）掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算。
（4）能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。
5．向量的應用
（1）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。
（2）會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題 。
【核心要點突破】
要點考向1：向量的有關概念及運算
考情聚焦：1．向量的有關概念及運算，在近幾年的高考中年年都會出現。
2．該類問題多數是單獨命題，考查有關概念及其基本運算；有時作為一種數學工具，在解答題中與其他知識點交匯在一起考查。
3．多以選擇、填空題的形式出現，有關會滲透在解答題中。
考向鏈接：向量的有關概念及運算要注意以下幾點：
（1）正確理解相等向量、共線向量、相反向量、單位向量、零向量等基本概念，如有遺漏，則會出現錯誤。
（2）正確理解平面向量的運算律，一定要牢固掌握、理解深刻

（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解題的基礎，除了用向量的加減法、實數與向量乘積外，還要充分利用平面幾何的一些定理，充分聯系其他知識。
例1：（2010?山東高考理科?Ｔ12）定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下，對任意的 ， ，令 ⊙ ，下面說法錯誤的是（ ）
A.若 與 共線，則 ⊙ B. ⊙ ⊙
C.對任意的 ，有 ⊙ ⊙ D. ( ⊙ )2
【命題立意】本題在平面向量的基礎上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎知識以及分析問題、解決問題的能力.
【思路點撥】根據所給定義逐個驗證.
【規(guī)范解答】選B，若 與 共線，則有 ⊙ ，故A正確；因為 ⊙ ,，而 ⊙ ，所以有 ⊙ ⊙ ，故選項B錯誤，故選B.
【方法技巧】自定義型信息題
1、基本特點：該類問題的特點是背景新穎，信息量大，是近幾年高考的熱點題型.
2、基本對策：解答這類問題時，要通過聯想類比，仔細分析題目中所提供的命題，找出其中的相似性和一致性
要點考向2：與平面向量數量積有關的問題
考情聚焦：1．與平面向量數量積有關的問題（如向量共線、垂直及夾角等問題）是高考考查的重點。
2．該類問題多數是單獨命題，有時與其他知識交匯命題，考查學生分析問題、解決問題的能力。
3．多以選擇題、填空題的形式出現，有時會滲透在解答題中。
考向鏈接：與平面向量數量積有關的問題
1．解決垂直問題： 均為非零向量。這一條件不能忽視。
2．求長度問題： ，特 別地 。
3．求夾角問題：求兩非零向量夾角的依據

例2：1 .（2010?湖南高考理科?Ｔ4）在 中， =90°AC=4，則 等于（ ）
A、-16 B、-8 C、8 D、16
【命題立意】以直角三角形為依托，考查平面向量的數量積，基底的選擇和平面向量基本定理.
【思路點撥】由于 =90，因此選向量CA，CB為基底.
【規(guī)范解答】選D . =(CB-CA)?(-CA)=-CB?CA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有兩條路：一是考查加減法，平行四邊形法則和三角形法則，平面向量共線定理.二是考查數量積，平面向量基本定理，考查 垂直，夾角和距離（長度）.
2. （2010?廣東高考文科?Ｔ5）若向量 =(1,1)， =(2，5)， =(3，x)滿足條件(8 — )? =30，則x=( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【命題立意】本題考察向量的坐標運算及向量的數量積運算.
【思路點撥】 先算出 ，再由向量的數量積列出方程，從而求出
【規(guī)范解答】選 . ，所以
. 即： ，解得： ，故選 .
要點考向3：向量與三角函數的綜合
考情聚集：1．向量與三角函數相結合是高考的重要考查內容，在近幾年的高考中，年年都會出現。
2．這類問題一般比較綜合，考查綜合應用知識分析問題、解決問題的能力。一般向量為具，考查三角恒等變換及三角函數的性質等。
3．多以解答題的形式出現。
例3．在直角坐標系

（I）若 ；
（II）若向量 共線，當
【解析】（1） …………2分
又
解得 ………………4分
或 …………6分
（II） ………………8分

…………10分

………………12分
注：向量與三角函數的綜合，實質上是借助向量的工具性。（1）解決這類問題的基本思路方法是將向量轉化為代數運算；（2）常用到向量的數乘、向量的代數運算，以及數形結合的思路。

【高考真題探究】
1．（2010?重慶高考理科?Ｔ2）已知向量 ， 滿足 ，則 （ ）
A．0 B． C．4 D．8
【命題立意】本小題考查向量的基礎知識、數量積的運算及性質，考查向量運算的幾何意義，考查數形結合的思想方法.
【思路點撥】根據公式 進行計算，或數形結合法，根據向量的三角形法則、平行四邊形法則求解.
【規(guī)范解答】選B （方法一）
；（方法二）數形結合法：由條件 知，以向量
， 為鄰邊的平行四邊形為矩形，又因為 ，所以 ，
則 是邊長為2的正方形的一條對角線確定的向量，其長度為 ，如圖所示.
【方法技巧】方法一：靈活應用公式 ，
方法二：熟記向量 及向量和的三角形法則
2．（2010?全國高考卷Ⅱ理科?Ｔ8）△ABC中，點D在
邊AB上，CD平分∠ACB，若 = ,
= , ， 則 =（ ）
（A） + （B） + （C） + （D） +
【命題立意】本題考查了平面向量基本定理及三角形法則的知識。
【思路點撥】運用平面向量三角形法則解決。由角平分線性質知DB:AD= CB:CA =1:2
這樣可以用向量 , 表示 。
【規(guī)范解答】 選B，由題意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD= AB,所以 + +
+
【方法技巧】角平分線性質、平面向量基本定理及三角形法則
3．（2010?浙江高考文科?Ｔ13）已知平面向量 則 的值是 。
【命題立意】本題主要考察了平面向量的四則運算及其幾何意義，屬中檔題。
【思路點撥】本題先把垂直關系轉化為數量積為0，再利用向量求模公式求解。
【規(guī)范解答】由題意可知 ，結合 ，解得 ，
所以 2= ，開方可知答案為 .
【答案】
【方法技巧】（1） ；（2） 。
4．（2009江西高考）已知向量 ， ， ，若 則 = ．
【解析】因為 所以 .
答案：
5．（2009廣東高考）已知向量 與 互相垂直，其中 ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ，求 的值．
【解析】（1）∵ 與 互相垂直，則 ，即 ，
代入 得 ，
又 ，∴ .
（2）∵ ， ，
∴ ，則 ，
∴ .
6．（2009海南寧夏高考）已知向量
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 求 的值.
【解析】（Ⅰ） 因為 ，所以 于是 ，故
（Ⅱ）由 知， 所以
從而 ，即 ，
于是 .又由 知， ，
所以 ，或 .因此 ，或

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（本 大題共6個小題，每小題6分，總分36分）
1.若 ，且 ，則向量 與 的夾角為 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2. 已知O，A，M，B為平面上四點，且 ，則（ ）
A．點M在線段AB上 B．點B在線段AM上
C．點A在線段BM上D． O、A、M、B四點一定共線
3.平行四邊形ABCD中，A C為一條對角線，若 =（2，4）， =（1，3），則 ? 等于（ ）
A．6 B．8 C．-8 D．-6
4. 已知 為不共線的非零向量，且 ，則以下四個向量中模最小者為……（ ）
（A） （B） （C） （D）
5. 已知向量 夾角為120°，且 則 等于（ ）
(A)4 (B)3(C)2 (D)1
6. 平面向量的集合A 到A的映射f( )＝ －( ? ) ，其中 為常向量．若映射f滿足f( )?f( )＝ ? 對任意的 ， ∈A恒成立，則 的坐標可能是（ ）
A．( ， ) B．( ，－ ) C．( ， ) D．(－ ， )
二、填空題（本大題共3個小題，每小題6分，總分18分）
7. 已知e1、e2是兩個不共線的向量，a = k2e1 + （ k）e2和b = 2e1 + 3e2是兩個共線向量，則實數k =
8. 已知向量 ， 滿足 ， ， 與 的夾角為 ，則 _________，若 ，則實數 _________．
9. 給定兩個長度為1的平面向量 和 ，它們的夾角為 .如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧 上變動。若 其中 ，則 的最大值是 ．

三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10. 已知 向量 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．


11.設函數 ，其中向量 ， .
（Ⅰ）求函數 的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函數 的單調遞增區(qū)間.


12.已知向量 ， ， .
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）設 ，
（1）求 的單調增區(qū)間；
（2）函數 經過怎樣的平移才能使所得的圖象對應的函數成為奇函數？
參考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空題
7.
8. 3，3
9. 2
三、解答題
10. 解析：（Ⅰ）由向量 ， ， ，且 ．
得 ．
即 ．
所以 ．
因為 ，
所以 ．
因為 ，
所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ．
則 .
．

11. 解：（I）



（II）由 ，
得


12. 解：（I）若 ，則


（II）
(1)令 得， ，
又 ， ，即（0， 是 的單調增區(qū)間
(2)將函數 的圖像向上平移1個單位，再向左平移 個單位，即得函數
的圖像，而 為奇函數
(左、右平移的單位數不唯一，只要正確，就給 分.)


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