3.1 等差數(shù)列（第二時(shí)，等差數(shù)列的性質(zhì)）
教學(xué)目的：
1.明確等差中項(xiàng)的概念.
2.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)公式.
教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題
一、復(fù)習(xí)引入
1．等差數(shù)列的定義；2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：（1），（2），（3）
3．有幾種方法可以計(jì)算公差d
① d= － ② d= ③ d=
二、講解新：
問(wèn)題：如果在 與 中間插入一個(gè)數(shù)A，使 ，A， 成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條？
由定義得A- = -A ，即：
反之，若 ，則A- = -A
由此可可得： 成等差數(shù)列。
也就是說(shuō)，A= 是a,A,b成等差數(shù)列的充要條
定義：若 ，A， 成等差數(shù)列，那么A叫做 與 的等差中項(xiàng)。
不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。
如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差中項(xiàng)。
9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng)。
注意到， ，……
由此猜測(cè)：
性質(zhì)：在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則，
即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
（以上結(jié)論由學(xué)生證明）
但通常 ①由 推不出m+n=p+q ，②
特例：等差數(shù)列{an}中，與首尾“等距離”的任意兩項(xiàng)和相等.即

三、例題
例1在等差數(shù)列{ }中，若 + =9, =7, 求 , .
分析：要求一個(gè)數(shù)列的某項(xiàng)，通常情況下是先求其通項(xiàng)公式，而要求通項(xiàng)公式，必須知道這個(gè)數(shù)列中的至少一項(xiàng)和公差，或者知道這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)（知道任意兩項(xiàng)就知道公差），本題中，只已知一項(xiàng)，和另一個(gè)雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)關(guān)系式 + = + =9入手……（答案： =2, =32）
例2 等差數(shù)列{ }中， + + =－12, 且 • • =80. 求通項(xiàng)
分析：要求通項(xiàng)，仍然是先求公差和其中至少一項(xiàng)的問(wèn)題。而已知兩個(gè)條均是三項(xiàng)復(fù)合關(guān)系式，欲求某項(xiàng)必須消元（項(xiàng)）或再構(gòu)造一個(gè)等式出。
（答案： =－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 =2 －3 (n－1) = －3n+5）
例3在等差數(shù)列{ }中, 已知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 求 ＋ 及前9項(xiàng)和 （ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）.
提示：由雙項(xiàng)關(guān)系式： ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 及 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 得5 ＝450, 易得 ＋ ＝2 ＝180.
＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋ ＝9 ＝810.
例4已知a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，那么，a2(b+c), b2(c+a), c2(a+b) 是否成等差數(shù)列。
分析：將a、b、c的成等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為a+c=2b，再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)， 即a2(b+c)+b2(c+a) - c2(a+b) = 0 是否成立.
例5 已知兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11…都有100項(xiàng)，問(wèn)它們有多少公共項(xiàng).
分析：兩個(gè)等差數(shù)列的相同的項(xiàng)按原的前后次序組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原兩個(gè)公差的最小公倍數(shù).（答案：25個(gè)公共項(xiàng)）
四、練習(xí)：
1.在等差數(shù)列 中，已知 ， ，求首項(xiàng) 與公差
2. 在等差數(shù)列 中, 若 求
3.在等差數(shù)列 中若 ， ， 求
五、作業(yè)：本：P114習(xí)題3.2 7. 10，11.《精析精練》P117 智能達(dá)標(biāo)訓(xùn)練




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