1.2.1 平面的基本性質(zhì)與推論 優(yōu)化訓(xùn)練
1．下列命題：
①公理1可用集合符號(hào)敘述為：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，則必有l(wèi)∈α；
②四邊形的兩條對(duì)角線必相交于一點(diǎn)；
③用平行四邊形表示的平面，以平行四邊形的四條邊作為平面邊界線；
④梯形是平面圖形．
其中，正確的命題個(gè)數(shù)為(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
解析：選A.①中應(yīng)為l?α；②中空間四邊形對(duì)角線異面；③中平面沒有界線．
2．空間中可以確定一個(gè)平面的條件是(　　)
A．兩條直線 B．一點(diǎn)和一直線
C．一個(gè)三角形 D．三個(gè)點(diǎn)
答案：C
3．點(diǎn)M在直線a上，直線a在平面α內(nèi)，可記為(　　)
A．M?a?α B．M∈a?α
C．M∈a∈α D．M?a∈α
答案：B
4．空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面的個(gè)數(shù)是________．
答案：1個(gè)或3個(gè)
5．假設(shè)一塊木板斜立在地面上，當(dāng)用一根木棒在后面撐住時(shí)，能使板面固定，這個(gè)道理是________．
答案：過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面
1．如圖，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，且C?l，則平面ABC與平面β的交線是(　　)
A．直線AC
B．直線BC
C．直線AB
D．直線CD
解析：選D.由題意知平面ABC與平面β有公共點(diǎn)C，根據(jù)基本性質(zhì)3，這兩平面必定相交，有且只有一條經(jīng)過點(diǎn)C的交線．由于兩點(diǎn)確定一條直線，所以只要再找到兩平面的另一個(gè)公共點(diǎn)即可．顯然點(diǎn)D在直線AB上，從而它在平面ABC內(nèi)；而D在直線l上，所以它又在平面β內(nèi)，這樣D也是平面ABC與平面β的公共點(diǎn)．因此平面ABC與平面β的交線是直線CD.
2．如圖所示，AA1是長方體的一條棱，這個(gè)長方體中與AA1異面的棱共有(　　)
A．3條
B．4條
C．5條
D．6條
解析：選B.依據(jù)異面直線的判定定理找與AA1異面的棱．∵AA1在面A1ABB1內(nèi)，B1在面A1ABB1內(nèi)，C1不在面A1ABB1內(nèi)，∴C1B1是與AA1異面的棱．同理，BC，CD，C1D1都是與AA1異面的棱，故正確答案為B.
3．如圖所示，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的是(　　)
解析：選C.選項(xiàng)A、B中RS與PQ平行；選項(xiàng)D中RS與PQ的延長線相交，選項(xiàng)C中的PQ與下底面平行，它與下底面中的RS不平行，不相交．
4．空間三條不重合的直線a、b、c能確定的平面的個(gè)數(shù)是(　　)
A．0,1或2 B．0,2或3
C．1,2或3 D．0,1,2或3
解析：選D.若a、b、c兩兩異面，不能確定平面，為0個(gè)；若三線共面，為1個(gè)；若其中兩條是異面直線，第3條與它們都相交，確定2個(gè)平面；若兩兩平行不共面，或三線交于一點(diǎn)且不共面，則確定3個(gè)平面．
5．下列四種敘述：
①空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；
②空間四點(diǎn)不共面，則其中任何三點(diǎn)不共線；
③空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；
④空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面．
其中正確說法的序號(hào)是(　　)
A．②③④ B．②③
C．①②③ D．①③
解析：選B.四棱柱中每個(gè)面都有四個(gè)點(diǎn)，但這四個(gè)點(diǎn)中沒有三點(diǎn)是共線的，所以①錯(cuò)；對(duì)于④，三點(diǎn)不共線但四點(diǎn)可以共面．
6．若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成(　　)
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
解析：選C.作出這三個(gè)平面的截面，如圖所示，把空間分為7部分，本題考查了學(xué)生的空間想象能力．順利作出截面是解決本題的關(guān)鍵，其中l(wèi)1，l2，l3是截線．
7．已知點(diǎn)A，直線a，平面α.
①A∈a，a∈α?A∈α；②A?a，a?α?A?α；③A∈a，a?α?A?α.
以上命題正確的個(gè)數(shù)為________．
解析：①中“a∈α”符號(hào)不對(duì)；②中A可以在α內(nèi)，也可以在α外，故不正確；③中“A?α”符號(hào)不對(duì)．
答案：0
8．空間2條直線，最多確定1個(gè)平面，空間3條直線最多確定3個(gè)平面，空間4條直線最多確定________個(gè)平面……空間n條直線，最多確定________個(gè)平面．
解析：2條直線最多確定1＝2×12個(gè)平面；3條最多確定3＝3×22個(gè)；4條最多確定4×32＝6個(gè)；…；猜想n條最多確定n?n－1?2個(gè)平面．
答案：6　n?n－1?2
9．如圖是正方體或正四面體，其中P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是________．
解析：題圖①，③中的PS∥QR，所以P，Q，R，S共面，而題圖②，④中的PS與QR是異面直線，所以這四個(gè)點(diǎn)不共面．
答案：①③
10．用符號(hào)表示下列語句，并畫出圖形．
(1)點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B不在直線l上；
(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M；
(3)平面α與平面β相交于過點(diǎn)A的直線l.
解：(1)符號(hào)：A∈l，B?l，如圖①所示．
(2)符號(hào)：l?α，m∩α＝M，如圖②所示．
(3)符號(hào)：α∩β＝l，A∈l，如圖③所示．
11. 如圖所示，已知直線a與b不共面，直線c∩a＝M，直線b∩c＝N.又a∩平面α＝A，b∩平面α＝B，c∩平面α＝C，求證A，B，C三點(diǎn)不共線．
證明：假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，設(shè)都在直線l上．
∵A，B，C∈α，∴l(xiāng)?α，c∩l＝C，
∴c與l可確定一個(gè)平面β.
∵c∩a＝M，∴M∈β.又A∈β，
∴a?β，同理可證b?β.
∴直線a，b共面，
這與已知a與b不共面矛盾，
∴A，B，C三點(diǎn)不共線．
12．求證：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)．
已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求證：直線AB、BC、AC共面．
證明：法一：∵AC∩AB＝A，
∴直線AB、AC確定一個(gè)平面α.
∵B∈AB，C∈AC，∴B∈α，C∈α.
故BC?α.
因此直線AB、BC、CA都在平面α內(nèi)，
∴AB、BC、AC共面．
法二：∵A、B、C三點(diǎn)不在一條直線上，
∴過A、B、C三點(diǎn)可以確定平面α.
∵A∈α，B∈α，∴AB?α，
同理，BC?α，AC?α，
∴AB、BC、AC共面．


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