第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ
第1課時(shí) 函數(shù)的概念和圖象（一）
銀河學(xué)校 張西元
目標(biāo)：
使學(xué)生理解函數(shù)的概念，明確決定函數(shù)的三個(gè)要素，學(xué)會(huì)求某些函數(shù)的定義域，掌握判定兩個(gè)函數(shù)是否相同的方法；使學(xué)生理解靜與動(dòng)的辯證關(guān)系.
重點(diǎn)：
函數(shù)的概念，函數(shù)定義域的求法.
教學(xué)難點(diǎn)：
函數(shù)概念的理解.
教學(xué)過(guò)程：
Ⅰ.課題導(dǎo)入
［師］在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，它是怎樣表述的？
（幾位學(xué)生試著表述，之后，教師將學(xué)生的回答梳理，再表述或者啟示學(xué)生將表述補(bǔ)充完整再條理表述）.
設(shè)在一個(gè)變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有惟一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x叫做自變量.
［師］我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，并且具體研究了正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，請(qǐng)同學(xué)們思考下面兩個(gè)問(wèn)題：
問(wèn)題一：y＝1（x∈R）是函數(shù)嗎？
問(wèn)題二：y＝x與y＝x2x 是同一個(gè)函數(shù)嗎？
（學(xué)生思考，很難回答）
［師］顯然，僅用上述函數(shù)概念很難回答這些問(wèn)題，因此，需要從新的高度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)概念（板書(shū)課題）.
Ⅱ.講授新課
［師］下面我們先看兩個(gè)非空集合A、B的元素之間的一些對(duì)應(yīng)關(guān)系的例子.
在（1）中，對(duì)應(yīng)關(guān)系是“乘2”，即對(duì)于集合A中的每一個(gè)數(shù)n，集合B中都有一個(gè)數(shù)2n和它對(duì)應(yīng).
在（2）中，對(duì)應(yīng)關(guān)系是“求平方”，即對(duì)于集合A中的每一個(gè)數(shù)m，集合B中都有一個(gè)平方數(shù)m2和它對(duì)應(yīng).
在（3）中，對(duì)應(yīng)關(guān)系是“求倒數(shù)”，即對(duì)于集合A中的每一個(gè)數(shù)x，集合B中都有一個(gè)數(shù) 1x 和它對(duì)應(yīng).
請(qǐng)同學(xué)們觀察3個(gè)對(duì)應(yīng)，它們分別是怎樣形式的對(duì)應(yīng)呢？
［生］一對(duì)一、二對(duì)一、一對(duì)一.
［師］這3個(gè)對(duì)應(yīng)的共同特點(diǎn)是什么呢？
[生甲]對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，集合B中都有惟一的數(shù)和它對(duì)應(yīng).
［師］生甲回答的很好，不但找到了3個(gè)對(duì)應(yīng)的共同特點(diǎn)，還特別強(qiáng)調(diào)了對(duì)應(yīng)關(guān)系，事實(shí)上，一個(gè)集合中的數(shù)與另一集合中的數(shù)的對(duì)應(yīng)是按照一定的關(guān)系對(duì)應(yīng)的，這是不能忽略的. 實(shí)際上，函數(shù)就是從自變量x的集合到函數(shù)值y的集合的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.
現(xiàn)在我們把函數(shù)的概念進(jìn)一步敘述如下：（板書(shū)）
設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有惟一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f?A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).
記作：y＝f(x)，x∈A
其中x叫自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y（或f(x)）值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{yy＝f(x)，x∈A}叫函數(shù)的值域.
一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域是R，值域也是R.對(duì)于R中的任意一個(gè)數(shù)x，在R中都有一個(gè)數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)和它對(duì)應(yīng).
反比例函數(shù)f(x)＝kx (k≠0)的定義域是A＝{xx≠0}，值域是B＝{f(x)f(x)≠0}，對(duì)于A中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，在B中都有一個(gè)實(shí)數(shù)f(x)＝ kx (k≠0)和它對(duì)應(yīng).
二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）的定義域是R，值域是當(dāng)a＞0時(shí)B＝{f(x)f(x)≥4ac－b24a }；當(dāng)a＜0時(shí)，B＝{f(x)f(x)≤4ac－b24a }，它使得R中的任意一個(gè)數(shù)x與B中的數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)對(duì)應(yīng).
函數(shù)概念用集合、對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言敘述后，我們就很容易回答前面所提出的兩個(gè)問(wèn)題.
y=1（x∈R）是函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于實(shí)數(shù)集R中的任何一個(gè)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系“函數(shù)值是1”，在R中y都有惟一確定的值1與它對(duì)應(yīng)，所以說(shuō)y是x的函數(shù).
Y＝x與y＝x2x 不是同一個(gè)函數(shù)，因?yàn)楸M管它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣，但y＝x的定義域是R，而y＝x2x 的定義域是{xx≠0}. 所以y＝x與y＝x2x 不是同一個(gè)函數(shù).
［師］理解函數(shù)的定義，我們應(yīng)該注意些什么呢？
（教師提出問(wèn)題，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思考、討論，并和學(xué)生一起歸納、總結(jié)）
注意：①函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集上的一種對(duì)應(yīng).
②符號(hào)“f:A→B”表示A到B的一個(gè)函數(shù)，它有三個(gè)要素；定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系，三者缺一不可.
③集合A中數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的惟一性.
④f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣.
⑤f(x)是一個(gè)符號(hào)，絕對(duì)不能理解為f與x的乘積.
［師］在研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)f(x）表示函數(shù)外，還常用g(x) 、F（x)、G（x)等符號(hào)來(lái)表示
Ⅲ.例題分析
［例1］求下列函數(shù)的定義域.
(1)f(x)＝1x－2 (2)f(x)＝3x＋2 (3)f(x)＝x＋1 ＋12－x
分析：函數(shù)的定義域通常由問(wèn)題的實(shí)際背景確定.如果只給出解析式y(tǒng)＝f(x)，而沒(méi)有指明它的定義域.那么函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)x的集合.
解：(1)x－2≠0，即x≠2時(shí)，1x－2 有意義
∴這個(gè)函數(shù)的定義域是{x｜x≠2}
(2)3x＋2≥0，即x≥－23 時(shí)3x＋2 有意義
∴函數(shù)y＝3x＋2 的定義域是[－23 ，＋∞）
(3) x＋1≥02－x≠0 x≥－1x≠2
∴這個(gè)函數(shù)的定義域是{x｜x≥－1}∩{x｜x≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）.
注意：函數(shù)的定義域可用三種方法表示：不等式、集合、區(qū)間.
從上例可以看出，當(dāng)確定用解析式y(tǒng)＝f（x）表示的函數(shù)的定義域時(shí)，常有以下幾種情況：
(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合；
(3)如果f（x）是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子不小于零的實(shí)數(shù)的集合；
(4)如果f（x）是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)的集合(即使每個(gè)部分有意義的實(shí)數(shù)的集合的交集)；
(5)如果f(x)是由實(shí)際問(wèn)題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實(shí)際意義的實(shí)數(shù)的集合.
例如：一矩形的寬為x m，長(zhǎng)是寬的2倍，其面積為y＝2x2，此函數(shù)定義域?yàn)閤＞0而不是全體實(shí)數(shù).
由以上分析可知：函數(shù)的定義域由數(shù)學(xué)式子本身的意義和問(wèn)題的實(shí)際意義決定.
［師］自變量x在定義域中任取一個(gè)確定的值a時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值用符號(hào)f(a)來(lái)表示.例如，函數(shù)f(x)＝x2＋3x＋1，當(dāng)x＝2時(shí)的函數(shù)值是f(2)＝22＋3?2＋1＝11
注意：f(a)是常量，f(x)是變量 ，f(a)是函數(shù)f(x)中當(dāng)自變量x＝a時(shí)的函數(shù)值.
下面我們來(lái)看求函數(shù)式的值應(yīng)該怎樣進(jìn)行呢？
[生甲]求函數(shù)式的值，嚴(yán)格地說(shuō)是求函數(shù)式中自變量x為某一確定的值時(shí)函數(shù)式的值，因此，求函數(shù)式的值，只要把函數(shù)式中的x換為相應(yīng)確定的數(shù)（或字母，或式子）進(jìn)行計(jì)算即可.
［師］回答正確，不過(guò)要準(zhǔn)確地求出函數(shù)式的值，計(jì)算時(shí)萬(wàn)萬(wàn)不可粗心大意噢!
[生乙]判定兩個(gè)函數(shù)是否相同，就看其定義域或?qū)��?yīng)關(guān)系是否完全一致，完全一致時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)就相同；不完全一致時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)就不同.
［師］生乙的回答完整嗎？
［生］完整!（課本上就是如生乙所述那樣寫(xiě)的）.
［師］大家說(shuō)，判定兩個(gè)函數(shù)是否相同的依據(jù)是什么？
［生］函數(shù)的定義.
［師］函數(shù)的定義有三個(gè)要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們判定兩個(gè)函數(shù)是否相同為什么只看兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不看值域呢？
（學(xué)生竊竊私語(yǔ)：是啊，函數(shù)的三個(gè)要素不是缺一不可嗎？怎不看值域呢？）
（無(wú)人回答）
［師］同學(xué)們預(yù)習(xí)時(shí)還是欠仔細(xì)，欠思考!我們做事情，看問(wèn)題都要多問(wèn)幾個(gè)為什么!函數(shù)的值域是由什么決定的，不就是由函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的嗎!關(guān)注了函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系，三者就全看了!
（生恍然大悟，我們?cè)趺淳蜎](méi)想到呢？）
[例2]求下列函數(shù)的值域
(1)y＝1－2x （x∈R）(2)y＝｜x｜－1 x∈{－2，－1，0，1，2}
(3)y＝x2＋4x＋3 （－3≤x≤1）
分析：求函數(shù)的值域應(yīng)確定相應(yīng)的定義域后再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運(yùn)算確定其值域.
對(duì)于(1)(2)可用“直接法”根據(jù)它們的定義域及對(duì)應(yīng)法則得到(1)(2)的值域.
對(duì)于(3)可借助數(shù)形結(jié)合思想利用它們的圖象得到值域，即“圖象法”.
解：(1)y∈R
(2)y∈{1，0，－1}
(3)畫(huà)出y＝x2＋4x＋3（－3≤x≤1）的圖象，如圖所示，
當(dāng)x∈[－3，1]時(shí)，得y∈[－1，8]
Ⅳ.課堂練習(xí)
課本P24練習(xí)1?7.
Ⅴ.課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義（包括定義域、值域的概念）、區(qū)間的概念及求函數(shù)定義域的方法.學(xué)習(xí)函數(shù)定義應(yīng)注意的問(wèn)題及求定義域時(shí)的各種情形應(yīng)該予以重視.（本小結(jié)的內(nèi)容可由學(xué)生自己來(lái)歸納）
Ⅵ.課后作業(yè)

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