數(shù)學(xué)必修1：對數(shù)函數(shù)（三）
目標：
知識與技能理解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的依賴關(guān)系， 了解反函數(shù)的概念，加深對函數(shù)的模型化思想的理解．
過程與方法通過作圖，體會兩種函數(shù)的單調(diào)性的異同．
情感、態(tài)度、價值觀對體會指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)內(nèi)在的對稱統(tǒng)一．
重點：
重點難兩種函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，反函數(shù)的概念．
難 點反函數(shù)的概念．
教學(xué)程序與環(huán)節(jié)設(shè)計：
教學(xué)過程與操作設(shè)計：
環(huán)節(jié) 呈現(xiàn)教學(xué)材料師生互動設(shè)計
創(chuàng)
設(shè)

情
境材料一：
當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．根據(jù)些規(guī)律，人們獲得了生物體碳14含量P與生物死亡年數(shù)t之間的關(guān)系．回答下列問題：
（1）求生物死亡t年 后它機體 內(nèi)的碳14的含量P，并用函數(shù)的觀點來解釋P和t之間的關(guān)系，指出是我們所學(xué)過的何種函數(shù)？
（2）已知一生物體內(nèi)碳14的殘留量為P， 試求該生物死亡的年數(shù)t，并用函數(shù)的觀點來解釋P和t之間的關(guān)系，指出是我們所學(xué)過的何種函數(shù)？
（3）這兩個函數(shù)有什么特殊的關(guān)系？
（4）用映射的觀點來解釋P和t之間的對應(yīng)關(guān)系是何種對應(yīng)關(guān)系？
（5）由此你能獲得怎樣的啟示？生：獨立思考完成，討論展示并分析自己的結(jié)果．
師：引導(dǎo)學(xué)生分析歸納，總結(jié)概括得出結(jié)論：
（1）P和t之間的對應(yīng)關(guān)系是一一對應(yīng)；
（2）P關(guān)于t是指數(shù)函數(shù) ；
t關(guān)于P是對數(shù)函數(shù) ，它們的底數(shù)相同，所描述的都是碳14的衰變過程中，碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的對應(yīng)關(guān)系；
（3）本問題中的同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，是描述同一種關(guān)系（碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的對應(yīng)關(guān)系）的不同數(shù)學(xué)模型．
材料二：
由對數(shù)函數(shù)的定義可知，對數(shù)函數(shù) 是把指數(shù)函數(shù) 中的自變量與因變量對調(diào)位置而得出的，在列表畫 的圖象時，也是把指數(shù)函數(shù) 的對應(yīng)值表里的 和 的數(shù)值對換，而得到對數(shù)函數(shù) 的對應(yīng)值表，如下：
表一 ．

環(huán)節(jié)呈現(xiàn)教學(xué)材料師生互動設(shè)計

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… 1248…
表二 ．

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在同一坐標系中，用描點法畫出圖象．生：仿照材料一分析： 與 的關(guān)系．
師：引導(dǎo)學(xué)生分析，講評得出結(jié)論，進而引出反函數(shù)的概念．
組織探究材料一：反函數(shù)的概念：
當一個函數(shù)是一一映射時，可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新的函數(shù)的自變量，而把這個函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量，我們稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù)．
由反函數(shù)的概念可知，同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．
材料二： 以 與 為例研究互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象和性質(zhì)有什么特殊的聯(lián)系？師：說明：
（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)是定義域、值域相互交換，對應(yīng)法則互逆的兩個函數(shù)；
（2）由反函數(shù)的概念可知“單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)”；
（3）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)是描述同一變化過程中兩個變量關(guān)系的不同數(shù) 學(xué)模型．
師：引導(dǎo)學(xué)生探索研究材料二．
生：分組討論材料二，選 出代表闡述各自的結(jié)論，師生共同評析歸納．
嘗試練習(xí)求下列函數(shù)的反函數(shù)：
（1） ；（2）
生：獨立完成．
鞏固反思從宏觀性、關(guān)聯(lián)性角度試著給指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)作一小結(jié)．
作業(yè)反饋1．求下列函數(shù) 的反函數(shù)：

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環(huán)節(jié)呈現(xiàn)教學(xué)材料師生互動設(shè)計

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2．（1）試著舉幾個滿足“對定義域內(nèi)任意實數(shù)a、b，都有f(a?b)=f(a)+f(b)．”的函數(shù)實例，你能說出這些函數(shù)具有哪些共同性質(zhì)嗎？
（2）試著舉幾個滿足“對定義域內(nèi)任意實數(shù)a、b，都有f(a+b)=f(a)?f(b)．”的函數(shù)實例，你能說出這些函數(shù)具有哪些共同性質(zhì)嗎？答案：
1．互換 、 的數(shù)值．
2．略．
課外活動我們知道，指數(shù)函數(shù) ，且 與對數(shù)函數(shù) ，且 互為反函數(shù)，那么，它們的圖象有什么關(guān)系呢？運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，探索下面幾個問題，親自發(fā)現(xiàn)其中的奧秘吧！
問題1在同一平面直角坐標系中，畫出指數(shù)函數(shù) 及其反函數(shù) 的圖象，你能發(fā) 現(xiàn)這兩個函數(shù)的圖象有什么特殊的對稱性嗎？
問題2 取 圖象上的幾個點，說出它們關(guān)于直線 的對稱點的坐標，并判斷它們是否在 的圖象上，為什么？
問題3如果P0 （x0，y0）在函數(shù) 的圖象上，那么P0關(guān)于直線 的對 稱點在函數(shù) 的圖象上嗎，為什么？
問題4由上述探究過程可以得到什么結(jié)論？
問題5上述結(jié)論對于指數(shù)函數(shù)
，且 及其反函數(shù) ，且 也成立嗎？為什么？結(jié)論：
互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱．



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