數(shù)學必修1：函數(shù)的應用舉例
【要點導學】
1、數(shù)學模型
數(shù)學模型就是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關于實際問題的數(shù)學描述.數(shù)學模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形，也可以是方程式，函數(shù)解析式等等.
2、數(shù)學模型方法
數(shù)學模型方法，是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數(shù)學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數(shù)學方法.
3、求解 實際問題的基本步驟
以函數(shù)為數(shù)學模型解決實際問題是數(shù)學應用的一個重要方面，主要研究它的定義域、值域、單調性、最值等問題.使用數(shù)學模型解決實際問題的基本步驟如下：


⑴審題：通過閱讀，理解關鍵詞的意義，明確變量和常量，理順數(shù)量關系，弄清題意，明白問題講的是什么.
⑵建模：將文字語言轉換成數(shù)學語言，用數(shù)學式子表達數(shù)量關系，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型.
⑶求模：求解數(shù)學模 型，得到數(shù)學結論.
⑷還原：將用數(shù)學方法得到的結論，回歸實際，還原為實際問題的意義.
4、本節(jié)課的函數(shù)應用是指利用函數(shù)知識求解實際問題.
【范例精析】
例1　要使火車安全行駛，按規(guī)定，鐵道轉彎處的圓弧半徑
不允許小于600 .如果某段鐵路兩端相距156 ，弧所對的圓心
角小于180o,試確定圓弧弓形的高所允許的取值范圍(精確到1m).
思路剖析　先以弓形的高 為自變量，半徑R為函數(shù)，建
立R關于 的函數(shù)關系式，然后再利用圓弧半徑不小于600 得
到關于 的不等式，求出 的范圍.
解題示范　如圖，設圓弧的半徑OA=OB=R ,
圓弧弓形的高CD= ,0< 在RtΔBOD中，DB=78，OD=R- ，
則 ，∴ ，
依題意R≥600，即 ≥600，
∴ ≥0，
解得 ≤5.1或 ≥1194.9,
又 答：圓弧弓形的高的允許值范圍是 （單位：米）.
回顧反思　如何依題意尋找關于 的不等式，是求解本題的關鍵，這里要抓住兩方面：一是圓弧半徑不小于600 ，二是 例2大氣中的溫度隨著高度的上升而降低，根據(jù)實測的結果上升到12 為止溫度的降低大體上與升高的距離成正比，在12 以上溫度一定，保持在-55oC.
（1）當?shù)厍虮砻娲髿獾臏囟仁?oC時，在 的上空為 oC,求 、 、 間的函數(shù)關系式；
（2）問當?shù)乇淼臏囟仁?9oC時，3 上空的溫度是多少？
思路剖析　用待定系數(shù)法確定溫度隨高度變化的函數(shù)關系.
解題示范�。�1）由題設知，可設 - = ，即 = + .
依題意，當 =12時， =-55，
∴-55= +12 ，解得 =- ，
∴當 時， .
又當 時， .
∴所求的函數(shù)關系式為
（2）當 =29, =3時，
=29- (55+29)=8，
即3 上空的溫度為8oC.
答：所求的關系式為 ，在3 上空的溫度是8oC.
回顧反思　1、在求解本題時，要抓住“上升到12 為止溫度的降低大體上與升高的距離成正比”這句關鍵性的話，它表達了兩層意思：一是溫度的降低與升高的距離成正比；二是“溫度的降低與升高的距離成正比”的前提是“上升到12 為止”，故函數(shù)的定義域為 .
2、數(shù)學模型中的自變量的取值范圍，一方面要使數(shù)學關系式有意義，另一方面還必須滿足實際問題的意義.
例3　1980年我國人 均收入255美元，若到2000年人民生活達到小康水平，即人均收入為817美元，則年平均增長率是多少？若不低于此增長率遞增，則到2010年人均收入至少多少美元？
思路剖析　按平均增長率可求得逐年的人均收入，通過解方程可計算平均增長率.
解題示范　設年平均增長率為 ，則
1981年人均收入為25 5 ，
1982年人均收入為255 ,
……
2000年人均收入為 255 ，
依題意，得255 =817，
∴ = ，
用計算器算得 =0.06=6%.
設2010年人均收入為 美元，則 =255(1+6%)30,
用計算器算得 =1464（美元）.
答：年平均增長率為6%，到2010年人均收入至少為1464美元.
回顧反思　在實際問題中，常常遇到有關平均增長率（如復利、人口增長率、產值增長率等）的問題，求解與平均增長率有關的實際應用問題時，常要用到公式 ，其中N表示原來產值的基礎數(shù)， 為平均增長率， 表示對應于時間 的產值，此公式稱作復利公式，要掌握它的推導過程和實際應用.當 表示增長率時， >0；當表示折舊率時， <0.
例4　某工廠今年1月、2月、3月生產某產品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件，為估計以后每月的產量，以這三個月的產量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產品的月產量 與月份 的關系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)或 ( , , 為常數(shù))，已知四月份該產品的產量為1.37萬件，請問：用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？請說明理由.
思路剖析　先利用待定系數(shù)法求出兩個函數(shù)的解析式，再進行比較.
解題示范　設二次函數(shù)為 .
由已知得 ，
∴ .
對于函數(shù) ，
由已知得 ，
∴ .
當 =4時， ；
.
∴ ， ，
∴ ，
∴選用函數(shù) 作模擬函數(shù)較好.
回顧反思　本題中，要弄清選擇哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)“較好”的依據(jù)是什么？看 分別與四月份該產品的實際產量1.37萬件的誤差哪個小.
例5　已知某商品的價格每上漲 %，銷售的數(shù)量就減少 %，其中 為正常數(shù).
(1)當 時，該商品的價格上漲多少時，就能使銷售的總金額最大？
(2)若適當?shù)貪q價，能使銷售總金額增加，求 的取值范圍.
思路剖析　銷售總金額=商品定價 銷售數(shù)量.
解題示范　(1)設商品原定價為 ，賣出的數(shù)量為 ，則當價格上漲 %時，
商品的定價為 ，銷售數(shù)量為 ，
∴銷售總金額為 ，
即 .
當 時，
∴當 =50時， .
即該商品的價格上漲50%時，銷售總金額最大.
(2)∵二次函數(shù) 在 上遞增，在 上遞減，
∴要使適當?shù)貪q價，能使銷售總金額增加，即當 >0時, 為增函數(shù)，則 須且只需滿足
，
解得0< <1.
回顧反思　在求解第二問時要注意兩點：一是要理解“適當?shù)貪q價，能使銷售總金額增加”在數(shù)學中的含義是什么？它表示當 >0時, 為增函數(shù)，由此得到二次函數(shù)頂點的橫坐標需滿足的條件；二是不要把“銷售總金額增加”錯誤地理解為“銷售總金額比原來增加”，以致產生下面的錯誤解法：
令 ，得 ，∴ ，
∴ ，∴ .
盡管答案一致，但純屬偶然.
【能力訓練】
一、選擇題
1、我國工農業(yè)總產值從1980年到2000年的20年間實現(xiàn)了翻兩番的目 標，若平均每年的增長率為 ，則（）
A、 =4B、 =2C、 =3D、 =4
2、由于電子技術的飛速發(fā)展，計算機的成本不斷降低.若每隔5年計算機的價格降低 ，現(xiàn)在價格為8100元的計算機經過15年，其價格可降為（）
A、300元B、900元C、2400元D、3600元
3、某企業(yè)生產總值的月平均增長率為P，則年平均增長率為（）
A、PB、P12C、(1+P)12D、(1+P)12-1
4、某商品零售價2002年比2001年上漲25%，欲控制2003年比2001年只上漲10%，則2003年應比2002年降價（）
A、15%B、12%C、10%D、5%
5、一名退休職工每年獲得一份醫(yī)療保障金，金額與他工作的年數(shù)的平方根成正比，如果多工作 年，他的保障金會比原有的多 元；如果多工作 年，他的保障金會比原來的多 元，那么他每年的保障金（用 表示）是（）
A、 B、 C、 D、
二、填空題
6、有一塊長為20厘米,寬為12厘米的矩形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為 的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子.則盒子的容積V與 的函數(shù)關系式是.
7、以半徑為R的半圓上任意一點P為頂點，直徑AB為底邊的ΔPAB的面積S與高PD= 之間的函數(shù)關系式是
8、儲油30 3的油桶，每分鐘流出 3的油，則桶內剩余油量Q（ 3）以流出時間為自變量的函數(shù)的定義域為
9、A、B兩地相距160 （A地在B地的正北方向），甲從A地以80 /s的速度向B行駛，乙從B地向正東方向以60 /s的 速度行駛.若甲、乙同時出發(fā)，則它們之間的最小距離為
10、“中華人民共和國個人所得稅法”規(guī)定，薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應納稅所得額.此項稅款 按下表分段累計計算：
全月應納稅所得額稅率
不超過500元的部分5％
超過500元至2000元部分10％
…………
則每月工資為1900元的工人每月應納稅款元.
三、解答題
11、某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗，若將進貨單價為8元的商品按10元一件的價格出售時，每天可銷售60件，現(xiàn)在采用提高銷售價格減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件，問該商品售價定為多少時才能賺得利潤最大？并求出最大利潤.
12、一根均勻的輕質彈簧，已知在600N的拉力范圍內，其長度與所受拉力成一次函數(shù)關系，現(xiàn)測得當它在100N的拉力作用下，長度為0.55 ,在300N拉力作用下長度為0.65，那么彈簧在不受拉力作用時，其自然長度是多少？
13、如圖，已知⊙O的半徑為R，由直徑AB的端點B作圓的切線，從圓周上任一點P引該切線的垂線，垂足為M， 連AP，設AP=
（1）寫出AP+2PM關于 的函數(shù)關系式 ；
（2）求此函數(shù)的最值.
14、在底邊BC=60,高AD=40的△ABC中作內接矩形MNPQ.設矩形的面積為S，MN= ，寫出S與 之 間的 函數(shù)關系式，并求其定義域和值域.
15、某林場現(xiàn)有木材30000 3,如果每年平均增長5%，問大約經過多少年木材可以增加到40000 3?
【素質提高】
16、某房地產公司要在荒地ABCDE（如圖）上劃出
一塊長方形的地面修建一座公寓樓.問如何設計才能使
公寓樓地面的面積最大，并求出最大的面積.
17、在測量某物理量的過程當中，因儀器和觀察
的誤差，使得 次測量分別得到 共 個數(shù)
據(jù).我們規(guī)定所測量的物理量的“最佳近似值 ”是
這樣一個量：與其它近似值比較， 與各數(shù)據(jù)的平方和最小.依此規(guī)定，從 推出 的值.
18、某工廠有一個容量為300噸的水塔，每天從早上6點起到晚上10點止供應該廠的生產和生活用水，已知該廠生活用水為每小時10噸，工業(yè)用水量W（噸）與時間 （小時，且規(guī)定早上6點時 ）的函數(shù)關系為W=100 .水塔的進水量分為10級，第一級每小時進水10噸，以后每提高一級，每小時進水量就增加10噸.若某天水塔原有水100噸，在開始供水的同時打開進水管，問進水量選擇第幾級時，既能保證該廠的用水（水塔中水不空），又不會使水溢出？
2.6函數(shù)的應用舉例
1、D2、C3、D4、B5、D6、 7、 8、[0，40]9、 10、8511、售價定為12元時可獲最大利潤160元12、0.50 13、（1） ；（2 ）當 時 ，當 時 14、 ，定義域為{ 0< <60}，值域為{S0
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