數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

：數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法，應(yīng)用廣泛．在最近幾年的高考試卷中體現(xiàn)的特別明顯，以下通過幾道高考試題來談一談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。
　　一、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題
　　用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，由到時，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數(shù)）整除，這是數(shù)學(xué)歸納法證明問題的一大技巧。
　　例1、是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9對任意自然數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論;若不存在，請說明理由.
　　證明：解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36， f（2）=3×36， f（3）=10×36， f（4）=34×36，由此猜想m=36.
　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
　�。�1）當n=1時，顯然成立.
　　（2）假設(shè)n=k時， f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除;當n=k+1時，［2（k+1）+7］•3k+1+9=3［（2k+7）•3k+9］+18（3k--1－1），
　　由于3k-1－1是2的倍數(shù)，故18（3k－1－1）能被36整除.這就是說，當n=k+1時，f（n）也能被36整除.
　　由（1）（2）可知對一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值為36.
　　二、用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題
　　對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應(yīng)及時把結(jié)論和推導(dǎo)過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的方法，以減小計算的復(fù)雜程度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的式子，使問題的證明有目的性．

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