1．按公因式分解
例1 分解因式7x2-3y+xy+21x．
分析：第1、4項含公因式7x，第2、3項含公因式y(tǒng)，分組后又有公因式(x-3)，
解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．

2．按系數(shù)分解
例2 分解因式x3+3x2+3x+9．
分析：第1、2項和3、4項的系數(shù)之比1：3，把它們按系數(shù)分組．
解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．

3．按次數(shù)分組
例3 分解因式 m2+2m•n-3m-3n+n2．
分析：第1、2、5項是二次項，第3、4項是一次項，按次數(shù)分組后能用公式和提取公因式．
解：原式=(m2+2m•n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+n-3)．

4．按乘法公式分組
分析：第1、3、4項結合正好是完全平方公式，分組后又與第二項用平方差公式．

5．展開后再分組
例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．
分析：將括號展開后再重新分組．
解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．

6．拆項后再分組
例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3．
分析：把常數(shù)拆開后再分組用乘法公式．
解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)．

7．添項后再分組
例7 分解因式x4+4．
分析：上式項數(shù)較少，較難分解，可添項后再分組．
解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)

二、用換元法進行因式分解
用添加輔助元素的換元思想進行因式分解就是原式繁雜直接分解有困難，通過換元化為簡單，從而分步完成．
例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．
分析：將令y=x2+3x，則原式轉化為(y-2)(y+4)-16再分解就簡單了．
解：令y=x2+3x，則
原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．
因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．

三、用求根法進行因式分解
例9 分解因式x2+7x+2．
分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求該多項式對應方程的根再分解．

四、用待定系數(shù)法分解因式．
例10 分解因式x2+6x-16．
分析：假設能分解，則應分解為兩個一次項式的積形式，即(x+b1)(x+b2)，將其展開得
x2+(b1+b2)x十b1•b2與x2+6x-16相比較得
b1+b2=6，b1•b2=-16，可得b1，b2即可分解．
解：設x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)
則x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1•b2
∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．

 

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