圓的定義：
圓是一種幾何圖形。當一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓。
在一個個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

相關定義:
1 在同一平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。這個定點叫做圓的圓心。圖形一周的長度，就是圓的周長。
2 連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑，字母表示為r。
3 通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，字母表示為d。直徑所在的直線是圓的對稱軸。
4 連接圓上任意兩點的線段叫做弦。最長的弦是直徑,直徑是過圓心的弦。
5 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，優(yōu)弧是用三個字母表示。小于半圓的弧稱為劣弧，劣弧用兩個字母表示。半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧。優(yōu)弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。
6 由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。
7 由弦和它所對的一段弧圍成的圖形叫做弓形。
8 頂點在圓心上的角叫做圓心角。
9 頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。
10 圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率。它是一個無限不循環(huán)小數，通常用π表示，π=3.14159265……在實際應用中，一般取π≈3.14。
11圓周角等于相同弧所對的圓心角的一半。
12 圓是一個正n邊形（n為無限大的正整數），邊長無限接近0但不等于0。

圓的集合定義：
圓是平面內到定點的距離等于定長的點的集合，其中定點是圓心，定長是半徑。

圓的字母表示：
以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作O”。
圓—⊙ ；
半徑—r或R（在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母）；
弧—⌒ ；
直徑—d ；
扇形弧長—L ；
周長—C ；
面積—S。

圓的性質:
（1）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。
圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。
逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。
（2）有關圓周角和圓心角的性質和定理
① 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。
②在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半（圓周角與圓心角在弦的同側）。
直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。
圓心角計算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。
即圓心角的度數等于它所對的弧的度數；圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半。
③ 如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。
（3）有關外接圓和內切圓的性質和定理
①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；
②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。
③R=2S△÷L（R：內切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）。
④兩相切圓的連心線過切點。（連心線：兩個圓心相連的直線）
⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。

（4）如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。
（5）弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半。
（6）圓內角的度數等于這個角所對的弧的度數之和的一半。
（7）圓外角的度數等于這個角所截兩段弧的度數之差的一半。
（8）周長相等，圓面積比長方形、正方形、三角形的面積大。

點、線、圓與圓的位置關系：
點和圓位置關系
①P在圓O外，則 PO>r。
②P在圓O上，則 PO=r。
③P在圓O內，則 0≤PO<r。
反過來也是如此。

直線和圓位置關系
①直線和圓無公共點，稱相離。 AB與圓O相離，d>r。
②直線和圓有兩個公共點，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d<r。
③直線和圓有且只有一公共點，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。AB與⊙O相切，d=r。（d為圓心到直線的距離）

圓和圓位置關系
①無公共點，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含。
②有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切。
③有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。
設兩圓的半徑分別為R和r，且R〉r，圓心距為P，則結論：外離P>R+r；外切P=R+r；內含P<R-r；
內切P=R-r；相交R-r<P<R+r。

圓的計算公式:
1.圓的周長C=2πr=或C=πd
2.圓的面積S=πr2
3.扇形弧長L=圓心角（弧度制）× r = n°πr/180°（n為圓心角）
4.扇形面積S=nπ r²/360=Lr/2（L為扇形的弧長）
5.圓的直徑 d=2r
6.圓錐側面積 S=πrl（l為母線長）
7.圓錐底面半徑 r=n°/360°L（L為母線長）（r為底面半徑）

圓的方程:
1、圓的標準方程：在平面直角坐標系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是
（x-a）²+（y-b)²=r²。
特別地，以原點為圓心，半徑為r（r>0）的圓的標準方程為x²+y²=r²。

2、圓的一般方程：方程x²+y²+Dx+Ey+F=0可變形為（x+D/2）²+（y+E/2）²=（D²+E²-4F）/4.故有：
①當D²+E²-4F>0時，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以（√D²+E²-4F）/2為半徑的圓；
②當D²+E²-4F=0時，方程表示一個點（-D/2，-E/2）；
③當D²+E²-4F<0時，方程不表示任何圖形。

3、圓的參數方程：以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, （其中θ為參數）
圓的端點式：若已知兩點A（a1,b1）,B（a2,b2），則以線段AB為直徑的圓的方程為 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0
圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。
經過圓x²+y²=r²上一點M（a0，b0）的切線方程為 a₀·x+b₀·y=r²
在圓（x²+y²=r²）外一點M（a0，b0）引該圓的兩條切線，且兩切點為A,B，則A,B兩點所在直線的方程也為 a₀·x+b₀·y=r²。

圓的歷史:
圓形，是一個看來簡單，實際上是十分奇妙的形狀。古代人最早是從太陽、陰歷十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很圓。到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上制成的。當人們開始紡線，又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發(fā)現搬運圓的木頭時滾著走比較省勁。后來他們在搬運重物的時候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當然比扛著走省勁得多。
約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。
會作圓，但不一定就懂得圓的性質。古代埃及人就認為：圓，是神賜給人的神圣圖形。一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個定義：圓，一中同長也。意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數學家歐幾里得（約公元前330-前275年）給圓下定義要早100年。
任意一個圓的周長與它直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率，用字母π表示。它是一個無限不循環(huán)小數，π=3.1415926535……但在實際運用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圓的周長：C=πd或C=2πr.《周髀算經》上說"周三徑一"，把圓周率看成3，但是這只是一個近似值。美索不達來亞人在作第一個輪子的時候，也只知道圓周率是3。魏晉時期的劉徽于公元263年給《九章算術》作注時，發(fā)現"周三徑一"只是圓內接正六邊形周長和直徑的比值。他創(chuàng)立了割圓術，認為圓內接正多連形邊數無限增加時，周長就越逼近圓周長。他算到圓內接正3072邊形的圓周率，π= 3927/1250。劉徽把極限的概念運用于解決實際的數學問題之中，這在世界數學史上也是一項重大的成就。祖沖之（公元429-500年）在前人的計算基礎上繼續(xù)推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數精確值，他還用兩個分數值來表示圓周率：22/7稱為約率，355/113稱為密率。 在歐洲，直到1000年后的十六世紀，德國人鄂圖（公元1573年）和安托尼茲才得到這個數值�，F在有了電子計算機，圓周率已經算到了小數點后六十萬億位小數了。

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