時間:120分鐘 總分:150分
(教師版)

選擇題(總計50分)
一.單項選擇題(本大題10個選項 各小題5分 本大題50分)
1.如圖,在圓O中,M,N是弦AB的三等分點,弦CD,CE分別經(jīng)過點M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,則線段NE的長為(　　)

A . 　　 B.3 C. D. 　　
1.令AB=3a(a>0),因為CM•MD=AM•MB,即2×4=2a2,所以a=2.又因為CN•NE=AN•NB,即3NE=4×2,所以NE= ,故選A.
2.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,則輸出的結果為(　　)

A.2 B.1 C.0 D.-1
2.執(zhí)行程序:i=1,S=0;S=cos =0,i=2;S=0+cos π=-1,i=3;S=-1+cos =-1,i=4;S=-1+cos =0,i=5;S=0+cos =0,i=6,滿足i>5,退出循環(huán),輸出的結果為0,故選C.
3.平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是(　　)
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+ =0或2x+y- =0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+ =0或2x-y- =0
3.切線平行于直線2x+y+1=0,故可設切線方程為2x+y+c=0(c≠1),結合題意可得 = ,解得c=±5.故選A.
4.如圖,已知△ABC,D是AB的中點,沿直線CD將△ACD翻折成△A'CD,所成二面角A'-CD-B的平面角為α,則　(　　)

A.∠A'DB≤α　　B.∠A'DB≥α　　C.∠A'CB≤α　　D.∠A'CB≥α　　
4.若CD⊥AB,則∠A'DB為二面角A'-CD-B的平面角,即∠A'DB=α.
若CD與AB不垂直,在△ABC中,過A作CD的垂線交線段CD或CD的延長線于點O,交BC于E,連結A'O,則∠A'OE為二面角A'-CD-B的平面角,即∠A'OE=α,∵AO=A'O,∴∠A'AO= .又A'D=AD,∴∠A'AD= ∠A'DB.而∠A'AO是直線A'A與平面ABC所成的角,由線面角的性質知∠A'AO<∠A'AD,則有α<∠A'DB.綜上有∠A'DB≥α,故選B.
5.已知△ABC的三邊長分別為a,b,c,且滿足b+c≤3a,則 的取值范圍為(　　)
A.(1,+∞)　　B.(0,2)　　C.(1,3)　　D.(0,3)　　
5.由已知及三角形三邊關系得
∴ ∴ 兩式相加得,0<2× <4,∴ 的取值范圍為(0,2),故選B.
6.設四邊形ABCD為平行四邊形,| |=6,| |=4.若點M,N滿足 =3 , =2 ,則 • =(　　)
A.20 B.15 C.9 D.6
6.依題意有 = + = + , = + = - = - ,所以 • = • = - =9.故選C.
7.△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足 =2a, =2a+b,則下列結論正確的是(　　)
A.|b|=1 B.a⊥b
C.a•b=1 D.(4a+b)⊥
7.∵b= - = ,∴|b|=| |=2,故A錯;∵ • =2×2×cos 60°=2,即-2a•b=2,∴a•b=-1,故B、C都錯;∵(4a+b)• =(4a+b)•b=4a•b+b2=-4+4=0,∴(4a+b)⊥ ,故選D.
8.已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC.若點P的坐標為(2,0),則| + + |的最大值為(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
8.解法一:由圓周角定理及AB⊥BC,知AC為圓的直徑.
故 + =2 =(-4,0)(O為坐標原點).
設B(cos α,sin α),∴ =(cos α-2,sin α),
∴ + + =(cos α-6,sin α),| + + |= = ≤ =7,當且僅當cos α=-1時取等號,此時B(-1,0),故| + + |的最大值為7.故選B.
解法二:同解法一得 + =2 (O為坐標原點),又 = + ,∴| + + |=|3 + |≤3| |+| |=3×2+1=7,當且僅當 與 同向時取等號,此時B點坐標為(-1,0),故| + + |

|max=7.故選B.
9.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　)
A.- 　　B. 　　C.- 　　D. 　　
9.原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°= ,故選D.
10.若集合M=(x+4)(x+1)=0,N=x,則M∩N=(　　)
A.1,4　　B.-1,-4　　C.0　　D.⌀　　
10.化簡集合得M=-4,-1,N=1,4,
顯然M∩N=⌀,故選D.
非選擇題(總計100分)
二.填空題(本大題20分各小題5分)
11.在極坐標系中,點 到直線ρ(cos θ+ sin θ)=6的距離為________.
11.由極坐標與直角坐標的互化公式可得極坐標系中點 對應的直角坐標為(1, ),直線ρ(cos θ+ sin θ)=6對應的直角坐標方程為x+ y=6,由點到直線的距離公式可得,所求距離為 =1.
12.已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________.
12.由已知得,所求平均數(shù)為 =6.
13.如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動點M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點.設異面直線EM與AF所成的角為θ,則cos θ的最大值為________.

13.如圖,建立空間直角坐標系A-xyz,
設AB=2,QM=m(0≤m≤2),
則F(2,1,0),E(1,0,0),M(0,m,2)(0≤m≤2).

=(2,1,0), =(1,-m,-2),
cos θ=|cos< , >|= = = .
設y= ,
則y'=
=
= .
當0∴y= 在(0,2)上單調遞減.
∴當m=0時,y取最大值,
此時cos θ取最大值,(cos θ)max= = .
14.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=________m.

14.依題意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.
∴∠ACB=45°,
在△ABC中,由 = ,
得 = ,有CB=300 ,
在Rt△BCD中,CD=CB•tan 30°=100 ,
則此山的高度CD=100 m.
三.解答題(本大題80分15 16 17 18小題10分19小題14分20小題16分)
15.某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表.
工人編號 年齡 工人編號 年齡 工人編號 年齡 工人編號 年齡
1 40 10 36 19 27 28 34
2 44 11 31 20 43 29 39
3 40 12 38 21 41 30 43
4 41 13 39 22 37 31 38
5 33 14 43 23 34 32 42
6 40 15 45 24 42 33 53
7 45 16 39 25 37 34 37
8 42 17 38 26 44 35 49
9 43 18 36 27 42 36 39
(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù);
(2)計算(1)中樣本的均值 和方差s2;
(3)36名工人中年齡在 -s與 +s之間有多少人?所占的百分比是多少(精確到0.01%)?
15.(1)由系統(tǒng)抽樣,將36名工人分為9組(4人一組),每組抽取一名工人.
因為在第一分段里抽到的是年齡為44的工人,即編號為2的工人,故所抽樣本的年齡數(shù)據(jù)為44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)均值
= =40;
方差s2= ×= .
(3)由(2)可知s= .由題意,年齡在 內的工人共有23人,所占的百分比為 ×100%≈63.89%.
16.如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;

R>(2)點Q是線段BP上的動點,當直線CQ與DP所成的角最小時,求線段BQ的長.

16.以, ,為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則各點的坐標為B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

(1)易知AD⊥平面PAB,所以 是平面PAB的一個法向量, =(0,2,0).
因為 =(1,1,-2), =(0,2,-2),
設平面PCD的法向量為m=(x,y,z),
則m• =0,m• =0,
即
令y=1,解得z=1,x=1.
所以m=(1,1,1)是平面PCD的一個法向量.
從而cos< ,m>= = ,
所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為 .
(2)因為 =(-1,0,2),
設 =λ =(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),
又 =(0,-1,0),
則 = + =(-λ,-1,2λ),
又 =(0,-2,2),
從而cos< , >= = .
設1+2λ=t,t∈,
則cos2 < , >= = ≤ .
當且僅當t= ,即λ= 時,
|cos< , >|的最大值為 .
因為y=cos x在 上是減函數(shù),所以此時直線CQ與DP所成的角取得最小值.
又因為BP= = ,
所以BQ= BP= .
17. 已知函數(shù)f(x)=sin .
(Ⅰ)求f(x)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若α是第二象限角, f = cos cos 2α,求cos α-sin α的值.
17.(Ⅰ)因為函數(shù)y=sin x的單調遞增區(qū)間為 ,k∈Z.
由- +2kπ≤3x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得
- + ≤x≤ + ,k∈Z.
所以,函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為 ,k∈Z.
(Ⅱ)由已知,有sin = cos (cos2α-sin2α),
所以sin αcos +cos αsin
= (cos2α-sin2α).
即sin α+cos α= (cos α-sin α)2(sin α+cos α).
當sin α+cos α=0時,由α是第二象限角,知α= +2kπ,k∈Z.
此時,cos α-sin α=- .
當sin α+cos α≠0時,有(cos α-sin α)2= .
由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此時cos α-sin α=- .
綜上所述,cos α-sin α=- 或- .
18.已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函數(shù)f(x)=a•b,且y=f(x)的圖象過點 和點 .
(Ⅰ)求m,n的值;
(Ⅱ)將y=f(x)的圖象向左平移φ(0<φ<π)個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)圖象上各最高點到點(0,3)的距離的最小值為1,求y=g(x)的單調遞增區(qū)間.
18.(Ⅰ)由題意知f(x)=a•b=msin 2x+ncos 2x.
因為y=f(x)的圖象經(jīng)過點 和 ,
所以
即
解得m= ,n=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)= sin 2x+cos 2x=2sin .
由題意知g(x)=f(x+φ)=2sin .
設y=g(x)的圖象上符合題意的最高點為(x0,2),
由題意知 +1=1,所以x0=0,
即到點(0,3)的距離為1的最高點為(0,2).
將其代入y=g(x)得sin =1,
因為0<φ<π,所以φ= .
因此g(x)=2sin =2cos 2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ- ≤x≤kπ,k∈Z,
所以函數(shù)y=g(x)的單調遞增區(qū)間為 ,k∈Z.
19.已知向量 ， ， .
（Ⅰ）求函數(shù) 的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在 中, 分別是角 的對邊, , ,
若 ，求 的大小.
19.（Ⅰ）
，
所以 遞減區(qū)間是 . （5分）
（Ⅱ）由 和 得: ,
若 ，而
又 , 所以
因為 ，所以
若 ，同理可得： ，顯然不符合題意，舍去. （9分）
所以 ，
由正弦定理得: . （12分）
20.（2018福建，21（3）, 7分）設不等式|x-2|< a(a∈N*) 的解集為A, 且∈A, ∉A.
(Ⅰ) 求a的值;
(Ⅱ) 求函數(shù)f(x) =|x+a|+

|x-2|的最小值.
20.(Ⅰ) 因為∈A, 且∉A, 所以 < a, 且 ≥a,
解得< a≤. 又因為a∈N*, 所以a=1.
(Ⅱ) 因為|x+1|+|x-2|≥|(x+1) -(x-2) |=3,
當且僅當(x+1) (x-2) ≤0, 即-1≤x≤2時取到等號, 所以f(x) 的最小值為3.

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