空間中具有大小和方向的量叫做空間向量，數(shù)學網(wǎng)整理了空間向量難點提分專練，幫助廣大高一學生學習數(shù)學知識!

難點 1利用空間向量解立幾中的探索性問題

1.如圖11-23，PD面ABCD，ABCD為正方形，AB=2，E是PB的中點，且異面直線DP與AE所成的角的余弦為。

試在平面PAD內(nèi)求一點F，使EF平面PCB。

2.如圖11-25，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD是一個直角梯形，AB、CD為梯形的兩腰，且AB=AD=AA1=a。

()如果截面ACD1的面種為S，求點D到平面ACD1的距離;

()當為何值時，平面AB1C平面AB1D1。證明你的結(jié)論。

難點 2利用空間向量求角和距離

已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=a，AA1=1。

(1)棱BC上是否存在點P，使A1PPD，說明理由;

(2)若BC上有且僅有一點P，使A1PPD，試求此時的二面角P-A1D-A的大小。

【易錯點點睛】

易錯點 1求異面直線所成的角

1.如圖11-1，四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點。

(1)證明：面PAD面PCD;

(2)求AC與PB所成的角;

(3)求面AMC與面BMC所成二面角A-CM-B的大小。

A-MC-B為鈍角，二面角A-CM-B的大小為。

2.如圖11-2，在直四棱術(shù)ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，ADDC，ACBD，垂足為E。(1)求證BDA1C;

(2)求二面角A1-BD-C1的大小;

(3)求異面直線AD與BC1所成角的大小。

【特別提醒】

利用空間向量求異面直線所成的角，公式為cos關(guān)鍵是正確地建立坐標系進而寫出各有關(guān)點的坐標，建立坐標會出現(xiàn)用三條

兩兩不垂直的直線作x軸、y軸、z軸的錯誤，還會出現(xiàn)用三條兩兩互相垂直但不過同一點的三條直線作x軸、y軸、z軸的錯誤。寫點的

坐標也容易出現(xiàn)錯誤，學習時要掌握一些特殊點坐標的特點，如x軸上的點坐標為(a，0，0)，xoz面上的點坐標為(a,0,b)等，其次還

應(yīng)學會把某個平面單獨分化出來，利用平面幾何的知識求解，如本節(jié)的例2，求B的坐標。

【舉一反三】

1.已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2a,高為b，求異面直線AC1和A1B所成的角。

2.如圖11-4，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是D1D，BD的中點，G在CD上，且CG=CD，H為C1G的中點。

(1)求證：EFB1C;

3.如圖11-5 四棱錐PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，BC=2。(1)求證：平面PAD平面PCD;

(2)若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的余弦值;

(3)在BC邊上是否存在一點G，使得D點在平面PAG的距離為1，如果存在，求出BG的值;如果不存在，請說明理由。

易錯點 2求直線與平面所成的角

1.如圖在三棱錐PABC中，ABBC，AB=BC=KPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP底面ABC。

(1)當k=時，求直線PA與平面PBC所成角的大小;

(2)當k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心?

2.如圖11-7，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點。(1)求證EF平面PAB;

(2)設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成的角的大小。

【特別提醒】求直線與平面所成角的公式為：sin=,其中a為直線上某線段所確定的一個向量，n為平面的一個法向量，這個公式很容易記錯，

關(guān)鍵是理解，有些學生從數(shù)形結(jié)合來看，認為n應(yīng)過直線上某個點，如例4中n應(yīng)過C點，這是錯誤的，這里n是平面的任意一個法向量，

再說一個向量過某一個具體的點這種說法也是錯誤的。

【舉一反三】

1如圖11-9，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90AC=2，BC=6，D為A1B1的中點，異面直線CD與A1B垂直。

(1)求直三棱術(shù)ABC-A1B1C1的高;

2、如圖，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E，交B1C于點F。(1)求證：A1C平面BED;

(2)求A1B與平面BDE所成的角是正弦值。

3、已知四棱錐P-ABCD(如圖)，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，M、N別為AD、BC的中點，MQPD于Q，直線PC與平面PBA所成角的正弦值為(1)求證：平面PMN平面PAD;

(2)求PA的長;

(3)求二面角P-MN-Q的余弦值。

易錯點 3 求二面角的大小

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD，如圖11-12。(1)證明：AB平面VAD;

(2)求二面角A-VD-B的大小。

如圖11-14，已知三棱錐P-ABC中，E、F分別是AC、AB的中點，ABC、PEF

都是正三角形，PFAB。(1)證明：PC平面PAB;

(2)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值;

(3)若點P、A、B、C在一個表面積為12的球面上，求ABC的邊長。

【特別提醒】

利用空間向量求二面角，先求兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出兩法現(xiàn)量的夾角，二面角的平面角與法向量的夾角相等或互補，具體是哪一種，一般有兩種判斷方法：(1)根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角;(2)根據(jù)兩法向量的方向判斷。實際上很多求二面角的題目，還是傳統(tǒng)方法(如三垂線定理作出二面角的平面角)簡單，或傳統(tǒng)方法與空間向量相結(jié)合來解。

【舉一反三】

如圖，在三棱錐P-OAC中，OP、OA、OC兩兩互相垂直，且OP=OA=1，OC=2，B為OC的中點。(1)求異面直線PC與AB所成角的余弦值;

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