第一學(xué)期金山中學(xué)高三期中考試試卷
理科數(shù)學(xué)
一、（每題5分，共40分）
1、命題“ ， ≥ 恒成立”的否定是（ ）
A． ， < 恒成立； B． ， ≤ 恒成立；
C． ， ≥ 成立； D． ， < 恒成立.
2、已知函數(shù) 的零點(diǎn)為 , 則 所在區(qū)間為（　�。�
A． B． C． D．
3、已知函數(shù) 為非零常數(shù) ，則 的圖像滿足（ ）
A．關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)
C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線 軸對(duì)稱(chēng)
4、函數(shù) ，如果 ，則 的值是（ ）
A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．零 D．無(wú)法確定
5、若 、 , 則 是 的（　�。�
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不是充分也不是必要條件
6、設(shè) 是定義在 上的周期為2的偶函數(shù),當(dāng) 時(shí), ,則 在區(qū)間 內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　�。�
A．B．C．3020D．3019
7、設(shè)集合 ≥ ， ≤ ≤ ，如果有 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8、在R上定義運(yùn)算：對(duì) 、 ，有 ，如果 ，則 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、題（每題5分，共30分）
9、不等式 的解集是 .
10、已知 是R上的奇函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，則 .
11、已知函數(shù) 且 ，如果對(duì)任意 ，都有 成立, 則 的取值范圍是____________.
12、如果方程 有解，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
13、已知函數(shù) ，則函數(shù) 過(guò)點(diǎn) 的切線方程為 .
14、若對(duì)任意 ， ，（ 、 ）有唯一確定的 ， 與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng) ， 為關(guān)于 、 的二元函數(shù). 現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù) 為關(guān)于實(shí)數(shù) 、 的廣義“距離”；
(1)非負(fù)性: 時(shí)取等號(hào)；
(2)對(duì)稱(chēng)性: ；
(3)三角形不等式: 對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立.
今給出三個(gè)二元函數(shù),請(qǐng)選出所有能夠成為關(guān)于 、 的廣義“距離”的序號(hào):
① ； ② ； ③
能夠成為關(guān)于的 、 的廣義“距離”的函數(shù)的序號(hào)是____________.

三、解答題（15、16題每題12分，17至20題每題14分，共80分）
15、已知函數(shù)
(1)求 的最大值和最小正周期；
(2)設(shè) , ,求 的值.
16、某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x (x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？
（注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝ ）

17、已知函數(shù) 滿足對(duì) ，都有 ，且方程 有重根.
（1）求函數(shù) 的解析式；
（2）設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .

18、已知函數(shù) ；
（1）如果函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) 和 ，求實(shí)數(shù) 、 的值；
（2）若函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) 和 ，且 ∈ ， ∈ ， 求 的最小值.

19、已知函數(shù) , 函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線平行
于 軸.
(1)確定 與 的關(guān)系；
(2) 當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（3）證明:對(duì)任意 ,都有 成立.

20、已知 ，函數(shù) ， .（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的極值；
（2）令 ，若函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)，求 的取值范圍.

高三期中考理科數(shù)學(xué)參考答案：
DCAB BCAB
9、 10、1 11、 ≤ 12、 或 ≤
13、 和 14、①
15、解:(1)

且 的最大值為
最小正周期
(2)
,
又 , ∴

16、解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為 元，依題意有 ，
故

等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng) ，即
答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層.

17、解：（1）由對(duì) ，都有 ，∴函數(shù) 圖像的對(duì)稱(chēng)軸為 ，
∴ ， ∴ ，
又方程 有重根，即 有重根，
∴ ， ∴
故
（2）由

18、解：（1）由 ，故 ，
函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn)-1和2，
故
∴ ， .
經(jīng)檢驗(yàn)， ， 滿足題意.
（2）由函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) 和 ，且 ，
故有 ， 即
畫(huà)出上述不等式組的可行域 如右圖：
又 表示點(diǎn) 到點(diǎn) 距離的平方.
而點(diǎn) 到可行域 的點(diǎn)的最小距離是點(diǎn)A到點(diǎn) 的距離.

所以, 的最小值是 ，此時(shí)， ， ；
經(jīng)檢驗(yàn)， ， 滿足題意.
19、解:(1)依題意得 ,則
由函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線平行于 軸得:
∴
（2）由 ，
令 得 或 ,
故 、 隨 變化如下表：

極大值
極小值

故函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,在 單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
(3)證法一:由(2)知當(dāng) 時(shí),函數(shù) 在 單調(diào)遞增,
,即 ,
令 ,則 ,


即
證法二:構(gòu)造數(shù)列 ,使其前 項(xiàng)和 ,
則當(dāng) 時(shí), ,
顯然 也滿足該式,
故只需證
令 ,即證 ,記 ,
則 ,
在 上單調(diào)遞增,故 ,
∴ 成立,

即
證法三:令 ,
則
令 則 ,
記
∵ ∴函數(shù) 在 單調(diào)遞增,
又 即 ,
∴數(shù)列 單調(diào)遞增,又 ,∴

20、解：（1）由 ， …………1分
令 ，解得： …………2分
故 、 隨 變化如下表：

極小值

又 ，故函數(shù) 有極小值 ； …………6分
（2）由 ，
令 ， 則 ，
，故 在區(qū)間 上是減函數(shù),
從而對(duì) ， ≥ .
①當(dāng) ≥ ，即 ≤ 時(shí)， ≥ ，∴ 在區(qū)間 上增函數(shù).
故 ≤ ，即 ≤ ，
因此，故 在區(qū)間 上是減函數(shù), ≤ 滿足題意.
②當(dāng) < ，即 > 時(shí)，由 ， ， ，
且y = 在區(qū)間 的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線
故y = 在區(qū)間 有唯一零點(diǎn)，設(shè)為 ，
， 在區(qū)間 上隨 變化如下表：

極大值

故有 ，而 ，
且y = 在區(qū)間 的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，
故y = 在區(qū)間 有唯一零點(diǎn)，設(shè)為 ，
即y = 在區(qū)間 有唯一零點(diǎn) ，
， 在區(qū)間 上隨 變化如下表：

極大值

即函數(shù)在區(qū)間 遞減，在區(qū)間 遞增，矛盾， > 不符題意，
綜上所述： 的取值范圍是 .

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