惠能中學(xué)2013屆高三第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1、已知全集U= ，則正確表示集合 和 關(guān)系的韋恩（Venn）圖是（ ）

A． B． C． D．
2、 已知i為虛數(shù)單位, 則復(fù)數(shù)i i 等于 （ ）
A . B. C. D.
3.命題“存在 ”的否定是（ ）
A.存在 B.不存在
C.對任意的 D.對任意的
4、“ ”是“函數(shù) 在區(qū)間 上為增函數(shù)”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5、設(shè) 且 ，則銳角x為（ ）
A． 　 B． 　　 C． 　 　 D．

6、某社區(qū)現(xiàn)有 個(gè)住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭。在建設(shè)幸福廣東的某次分層抽樣調(diào)查中，高收入家庭被抽取了6戶，則該社區(qū)本次被抽取的總戶數(shù)為 （ ）
A． B． C． D．
7、設(shè) 是公差不為0的等差數(shù)列， 且 成等比數(shù)列，則 的前 項(xiàng)和 =（ ）
A． B． C． D．
8、已知函數(shù) ，若實(shí)數(shù) 是方程 的解， 且 ，則 的值（ ）
A．恒為負(fù) B．等于零 C．恒為正 D．不小于零
二、填空題: 本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．
(一)必做題
9、已知全集 ，函數(shù) 的定義域?yàn)榧��?，函數(shù) 的定義域?yàn)榧��?，則集合 =______________
10、已知函數(shù) 的定義域?yàn)閧0，1，2}，那么該函數(shù)的值域?yàn)開____________
11、從100張卡片（1號到100號）中任取1張，取到卡號是7的倍數(shù)的概率是 .
12、已知 為 上的減函數(shù)，則滿足 的實(shí)數(shù) 的取值范圍是______
13、不等式 的解集為 　　
(二)選做題
14、（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn) 到直線 的距離為 ．
15、（幾何證明選講） 兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一弦被分為12和18兩段，另一弦被分為3:8，則另一弦的長是________.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出字說明，證明過程或演算步驟

16、（本小題滿分12分）已知函數(shù) (其中A>0, )的圖象如圖所示。
（Ⅰ）求A，w及j的值；
（Ⅱ）若cosa= ,求 的值。

17、某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用 表示.據(jù)統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量 的概率分布如下：

0123

0.1

0.3
（1）求 的值和 的數(shù)學(xué)期望；
（2）假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴3次的概率.

18、如圖，四棱錐 的底面是矩形， 底面 ， 為 邊的中點(diǎn)， ．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值的大小．

19、已知等差數(shù)列 滿足 ， 為 的前 項(xiàng)和.
（Ⅰ）求通項(xiàng) 及 ；
（Ⅱ）設(shè) 是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式及其前 項(xiàng)和 .

20、已知函數(shù) 是 的一個(gè)極值點(diǎn).
（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng) 時(shí)， 恒成立，求 的取值范圍.

21、已知圓 直線
（Ⅰ）求圓 的圓心坐標(biāo)和圓 的半徑；
（Ⅱ）求證:直線 過定點(diǎn)；
（Ⅲ）判斷直線 被圓 截得的弦何時(shí)最長,何時(shí)最短?并求截得的弦長最短時(shí) 的值,以及最短長度.

2012—2013學(xué)年高三級第一次月考參考答案

三、簡答題

17.（1）解：由概率分布的性質(zhì)有0.1+a +2a +0.3 =1，解得a=0.2.
所以 的概率分布為

0123

0.10.20.40.3
所以 .
（2）解：設(shè)事件 表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴3次”，事件 表示“兩個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴3次，另外一個(gè)月被投訴0次”，事件 表示“兩個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次，另外一個(gè)月被投訴1次”，
則由事件的獨(dú)立性得， ，
，
所以 .
所以該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴3次的概率為0.22.
18、由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD= ，…………………2分
又因?yàn)锳D=2，所以AD2=AP2+PD2，所以 . …………………4分
因?yàn)镾A⊥底面ABCD, 平面ABCD,
所以SA⊥PD, ………………………………………5分
由于SA∩AP=A 所以 平面SAP． ……6分
（Ⅱ）設(shè)Q為AD的中點(diǎn),連結(jié)PQ, …………7分
由于SA⊥底面ABCD,且SA 平面SAD,
則平面SAD⊥平面PAD …………………8分
, PQ⊥平面SAD， SD 平面SAD, .
過Q作QR ，垂足為 ，連接 ，則 .
又 ， ，

所以 . …………………13分
所以二面角A－SD－P的余弦為 ． …………………14分
解法二：因?yàn)?底面 ，
所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角. ……1分
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）
由已知，P為BC中點(diǎn)．
于是A（0,0,0）、B（1,0,0） 、P（1,1,0）、D（0,2,0）、S（0,0,1）……………3分
（Ⅰ）易求得 ,
， ． …………………4分
因?yàn)?， .
所以 ， .
由于 ，所以 平面 . …………………6分
（Ⅱ）設(shè)平面SPD的法向量為 .
由 ,得 解得 ，所以 . ……9分
又因?yàn)锳B⊥平面SAD，所以 是平面SAD的法向量，
易得 . …………………9分
所以 . …………………13分
所以所求二面角 的余弦值為 ．…………………14分

20、解：（1）∵ 且 是 的一個(gè)極值點(diǎn)
∴ ， -------2分
∴ ------4分
由 得 或 ，∴函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為 ， ；--6分
由 得 ，∴函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為 ， ----8分
（2）由（1）知，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增
∴當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得最小值， = ， ----10分
時(shí)， 恒成立等價(jià)于 -----12分
即 。-------14分

21、（I）圓 ：
可變?yōu)椋?………1分
由此可知圓 的圓心 坐標(biāo)為 ，半徑為 ………3分
（Ⅱ）由直線
可得 ………4分
對于任意實(shí)數(shù) ，要使上式成立，必須 ………5分
解得： ………6分
所以直線 過定點(diǎn) ………7分

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