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2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)
理科數(shù)學(xué)
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分。共4頁，滿分150分�？荚囉脮r(shí)150分鐘.考試結(jié)束后，將本卷和答題卡一并交回。
注意事項(xiàng)：
1. 答題前，考試務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)、縣區(qū)和科類在答題卡和試卷規(guī)定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答案不能答在試卷上。
3. 第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。
4. 題請(qǐng)直接填寫答案,解答題應(yīng)寫出文字說明\證明過程或演算步驟.
參考公式:如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)；如果事件A，B獨(dú)立，那么P（AB）=P(A)*P(B)
第Ⅰ卷 （共60分）
一、：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1、復(fù)數(shù) 滿足 為虛數(shù)單位），則 的共軛復(fù)數(shù) 為（ ）
（A）2+i （B）2-i （C）5+i （D）5-i
2、已知集合 ，則集合 中元素的個(gè)數(shù)是（ ）
（A）1 （B）3 （C）5 （D）9
3、已知函數(shù) 為奇函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， ，則 =（ ）
（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2
4、已知三棱柱 的側(cè)棱與底面垂直，體積為 ，底面是邊長為 的正三角形，若P為底面 的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、若函數(shù) 的圖像沿 軸向左平移 個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則 的一個(gè)可能取值為（ ）
（A） （B） （C）0 （D）
6、在平面直角坐標(biāo)系 中， 為不等式組 ，所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線 斜率的最小值為
7、給定兩個(gè)命題 若 是 的必要而不充分條件，則 是 的
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充要條件 （D ）既不充分也不必要條件
8、函數(shù) 的圖象大致為
(A) (B) (C) (D)
9、過點(diǎn)（3，1）作圓 作圓的兩條切線切點(diǎn)為A，B，則直線AB的方程
（A） （B）
（C） （D）
10、用0,1， ，9十個(gè)數(shù)字可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為
（A）243 （B）252 （C）261 （D）279
11、拋物線 的焦點(diǎn)與雙曲線 的右焦點(diǎn)的連線交 于第一象限的點(diǎn)M，若 在點(diǎn)M處的切線平行于 的一條漸近線，則
（B） （C） （D）
12、設(shè)正實(shí)數(shù) 滿足 ，則當(dāng) 取最大值時(shí)， 的最大值為
（A）0 （B）1 （C） （D）3
二、題：本大題共4小題，每小題4分，共16分
13、執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的 值為0.25，則輸出的 的值為______________
14、在區(qū)間 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) ，使得 成立的概率為______________.
15、已知向量 與 的夾角1200，且 =3， =2，若 ，且 ，則實(shí)數(shù) 的值為____________.
16、 定義“正對(duì)數(shù)”: 現(xiàn)有四個(gè)命題：
①若
②若
③若
④若
其中真命題有____________.（寫出所有真命題的編號(hào)）
三、解答題：本大題共6小題，共74分。
17、 （本小題滿分12分）
設(shè) 的內(nèi)角 所對(duì)的邊為 且
求 的值；
求 的值。
18、（本小題滿分12分）
如圖所示，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH。
（Ⅰ）求證：AB//GH；
（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值
19、（本小題滿分12分）
甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是 外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是 .假設(shè)每局比賽結(jié)果互相獨(dú)立。
（Ⅰ）分別求甲隊(duì)以3：0，3：1，3：2勝利的概率;
（Ⅱ）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分、對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分 的分布列及數(shù)學(xué)期望。
20、（本小題滿分12分）
設(shè)等差數(shù)列｛ ｝的前n項(xiàng)和為 ，且 , 。
（Ⅰ）求數(shù)列｛ ｝的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛ ｝的前n項(xiàng)和 ，且 （ 為常數(shù)），令 .求數(shù)列｛ ｝的前n項(xiàng)和 。
21、（本小題滿分13分）
設(shè)函數(shù) .
（Ⅰ）求 的單調(diào)區(qū)間、最大值；
（Ⅱ）討論關(guān)于 的方程 根的個(gè)數(shù)。
22、（本小題滿分13分）
橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別是 ,離心率為 ，過 且垂直于 軸的直線被橢圓 截得的線段長為 .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）點(diǎn) 是橢圓 上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接 ,設(shè)∠ 的角平分線 交 的長軸于點(diǎn) ，求 的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn) 作斜率為 的直線 ，使得 與橢圓 有且只有一個(gè)公共點(diǎn).設(shè)直線 的斜率分別為 ，若 ≠0，試證明 為定值，并求出這個(gè)定值。
濟(jì)南新東方優(yōu)能中學(xué)
2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)答案
一、
1、D 2、C 3、A 4、B 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、B 11、D 12、B
二、填空題
13、3 14、 15、 16、 ①③④
18、（Ⅰ）證明：由已知得EF, DC分別為 PAB和 QAB的中位線
所以EF//AB, DC//AB ,則EF//DC
又EF 平面PDC, DC 平面PDC
所以EF//平面PDC
又EF 平面QEF且平面QEF 平面PDC=GH
所以EF//GH
又因?yàn)镋F//AB
所以AB//GH
（Ⅱ）解：因?yàn)锳Q=2BD 且D為AQ中點(diǎn)
所以 ABQ為直角三角形，AB BQ
又PB 平面ABC, 則PB AB
PB BQ=B且PB 平面PBQ,BQ平面PBQ,
所以AB 平面PBQ
由（Ⅰ）知AB//GH
所以GH 平面PBQ
則GH FH, GH HC
所以 FHC即為二面角D-GH-E的平面角
由條件易知 PBC+ BFQ+ PQB+ FHC=2
且 BFQ= PQB，tan BFQ=2
所以cos FHC=cos（ —2 BFQ）=—2sin BFQcos BFQ=
19、解：（1）設(shè)“甲隊(duì)以3:0勝利”為事件A；“甲隊(duì)以3:1勝利”為事件B
“甲隊(duì)以3:2勝利”為事件C
(2)根據(jù)題意可知 的可能取值為：“0,1,2,3”
乙隊(duì)得分的 的分布列如圖所示：：
0123
數(shù)學(xué)期望：
.
20.(Ⅰ)解:設(shè)等差數(shù)列{ }的首項(xiàng)為 ,公差為 ,
因?yàn)橐阎?,
可得 ,即
整理得， ①
又因?yàn)?,
當(dāng) 時(shí)，
即， ②
①②聯(lián)立可得
由于
所以， .
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得 ，且
將 帶入，可得
①
當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)， ②
①-②可得
所以
兩式相減得
所以
21、解（1） ，
令 ，解得 ，令 ，解得
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ，
的最大值為
（2）令 ，
①當(dāng) 時(shí)
，所以
在 時(shí)，函數(shù) 的值域?yàn)?，函數(shù) 的值域?yàn)?，所以在 上，恒有 ，即 ，所以 對(duì)任意 大于零恒成立，所以 在 上單調(diào)遞增；
②當(dāng) 時(shí)，
，所以 ，顯然在 時(shí)有函數(shù) 恒成立，所以函數(shù) 在 時(shí)恒成立，所以 對(duì)任意 恒成立，所以 在 上單調(diào)遞減；
由①②得，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，所以 的最大值為
當(dāng) ，即 時(shí)，方程 有且只有一個(gè)根；
當(dāng) ，即 時(shí)，方程 有兩個(gè)不等的根；
當(dāng) ，即 時(shí)，方程 沒有根。
22、解答
（1）由已知的 ，且 ，解得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）設(shè) ，則 ,
在三角形 中，由正弦定理得
同理，在三角形 中，由正弦定理得
而且 ，所以
所以


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