2013屆高三數(shù)學(xué)章末綜合測試題（20）
計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有
一項是符合題目要求的)
1．在1,2,3,4,5這5個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有(　　)
A．36個　　B．24個　　
C．18個　　D．6個
　解析　B　各位數(shù)字之和為奇數(shù)必須3個數(shù)字都是奇數(shù)或兩個偶數(shù)1個奇數(shù)，前者有A33＝6個，后者有C13•A33＝18個，共24個．
2．在x＋13x24的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有(　　)
A．3項 B．4項
C．5項 D．6項
　解析　C　Tr＋1＝Cr24(x)24－r13xr＝Cr24x12－56r，當(dāng)r＝0,6,12,18,24時，x的冪指數(shù)為整數(shù)，共5項，故選C.
3．商場在 國慶黃金周的促銷活動中，對10月2日9時至14時的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為(　　)

A．6萬元 B．8萬元
C．10萬元 D．12萬元
　
解析　C　設(shè)11時至12時銷售額為x萬元，由直方圖，得0.10.4＝2.5x，∴x＝10.
4．在二項式x2－1x5的展開式中，含x4的項的系數(shù)是(　　)
A．－10 B．10
C．－5 D．5
　解析　B　對于Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－1xr＝(－1)rCr5x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，則含x4的項的系數(shù)是C25(－1)2＝10.
5．在四次獨立重復(fù)試驗中事件出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為6581，則事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為 (　　)
A.13 B.35
C.34 D.56
　解析　A　由題意1－(1－p)4＝6581，p＝13.
6．已知某批的個體強度X服從正態(tài)分布N(200,182)，現(xiàn)從中任取一件，則取得的這件的強度高于182但不高于218的概率為(　　)
(參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤ μ＋3σ)＝0.997 4)
A．0.997 3 B．0.682 6
C．0.841 3 D．0.815 9
　解析　B　P(200－18<X≤200＋18)＝0.682 6.
7．從4名男生3名女生中選出3人，分別從事3項不同的工作，若這3人中至少有一名女生，則選派方案共有(　　)
A．108種 B．186種
C．216種 D．270種
　解析　B　不受限制的選法有A37＝210種，其中全為男生的選法有A34＝24種，故3人中至少有一名女生的選派方案有210－24＝186種．
8．古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”從五 種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩種，則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率是(　　)
A.310 B.25
C.12 D.35
　解析　C　基本事件為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，∴n＝10，不相克的事件數(shù)為＝10－5＝5，∴n＝510＝12.
9．已知C7n＝C711＋C11，則，n的值為(　　)
A．＝7，n＝12 B．＝7，n＝11
C．＝6，n＝11 D．＝6，n＝12
　解析　D　∵Cn＋C－1n＝Cn＋1，∴n＝12，＝6.
10．10張獎券中有3張是有獎的，某人從中依次抽兩張．則在第一次抽到中獎券的條件下，第二次也抽到中獎券的概率為(　　)
A.27 B.29
C.310 D.15
　解析　B　設(shè)第一次抽到中獎券為事件A，第二次抽到中獎券記為事件B， 則兩次 都
抽到中獎券為事件AB.則P(A)＝310；P(AB)＝3×210×9＝115；P(BA)＝PABPA＝115310＝29.
11．從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3個人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為(　　)
A．85 B．56
C．49 D．28
　解析　C　由條件 可分為兩類：一類是甲乙兩人只去一個，其選法有C12•C27＝42種；另一類是甲乙都去，其選法有C22•C17＝7種，所以共有42＋7＝49種選法．
12．選擇薪水高的職業(yè)是人之常情，假如張偉和李強兩人大學(xué)畢業(yè)有甲、乙兩個公司可供選擇，現(xiàn)從甲、乙兩個公司分別隨機(jī)抽取了50名員工的月工資資料，統(tǒng)計如下：

甲公司
最大值2 500
最小值800
極差1 700
眾數(shù)1 200
中位數(shù)1 200
平均數(shù)1 320
標(biāo)準(zhǔn)差433.128 2
　　　
乙公司
最大值20 000
最小值700
極差19 300
眾數(shù)1 00 0
中位數(shù)1 000
平均數(shù)1 000
標(biāo)準(zhǔn)差2 906.217

根據(jù)以上的統(tǒng)計信息 ，若張偉想找一個工資比較穩(wěn)定的工作，而李強想找一個有挑 戰(zhàn)性的工作，則他倆分別選擇的公司是(　　)
A．甲、乙 B．乙、甲
C．都選擇甲 D．都選擇乙
　解析　A　由表中的信息可知，甲公司的工資標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)小于乙公司的工資標(biāo)準(zhǔn)差，這表示甲公司的工資比較穩(wěn)定，張偉想找一個工資比較穩(wěn)定的工作，會選擇甲公司；而乙公司的工資最大值和極差遠(yuǎn)大于甲公司的工資最大值和極差，李強想找一個有挑戰(zhàn)性的工作，會選擇乙公司．
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．在(1＋x)3＋(1＋x)3＋(1＋3x)3的展開式中，x的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．
　解析　易知(1＋x)3，(1＋x)3，(1＋3x)3展開式中x的系數(shù)分別是C13，C23，C33，即
所求系數(shù)是3＋3＋1＝7.
【答案】　7
14．一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1，一個面上標(biāo)以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是________．
　解析　數(shù)0向上的概率為36＝12，數(shù)1向上的概率為26＝13，數(shù)2向上的概率為16，設(shè)向
上的數(shù)字之積為ξ，ξ＝0,1,2,4，
P(ξ＝0)＝12×12＋12×13＋12×16＋13×12＋16×12＝34；
P(ξ＝1)＝13×13＝19； P(ξ＝2)＝13×16＋16×13＝19；
P(ξ＝4)＝16×16＝136. ∴Eξ＝34×0＋19×1＋19×2＋136×4＝49.
【答案】　49
15．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，則a＝____，b＝____.
X－1012
Pabc112

　解析　由題意得，a＋b＋c＋112＝1，①
∵EX＝0， ∴－1×a＋0×b＋1×c＋2×112＝0，
即－a＋c＋16＝0，② ∵DX＝1，
∴(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×112＝1，
即a＋c＝23，③ 聯(lián)立①②③解得a＝512，b＝14.
【答案】　512　14
16．甲、乙兩人各拋擲一次正方體骰子(六個面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，設(shè)甲、乙所拋擲骰子朝上的面的點數(shù)分別為x、y，則滿足復(fù)數(shù)x＋yi的實部大于虛部的概率是________．
　解析　試驗結(jié)果共有36種情況．當(dāng)x＝6時，y有5種情況；當(dāng)x＝5時，y有4種情況；當(dāng)x＝4時，y有3種情況；當(dāng)x＝3時，y有2種情況；當(dāng)x＝2時，y有1種情況．所以P＝5＋4＋3＋2＋136＝512.
【答案】　512
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)(1)在(1＋x)n的展開式中，若第3項與第6項系數(shù)相等，則n等于多少？
(2)xx＋13xn的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，求展開式中二項式系數(shù)最大的項．
　解析　(1)由已知，得C2n＝C5n⇒n＝7.
(2)由已知，得C0n＋C2n＋C4n＋…＝128,2n－1＝128，n＝8，而展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4＋1＝C48(xx)4•13x4＝70x43x2.
18．(12分)一個袋子里裝有10張不同的中國移動手機(jī)卡，另一個袋子里裝有12張不同的中國聯(lián)通手機(jī)卡．
(1)某人要從兩個袋子中任取一張手機(jī)卡供自己使用，共有多少種不同的取法？
(2)某人想得到一張中國移動卡和一張中國聯(lián)通卡，供自己今后選擇使用，共有多少種不同的取法？
　解析　(1)任取一張手機(jī)卡，可以從10張不同的中國移動卡中任取一張，或從12張不同的中國聯(lián)通卡中任取一張，每一類辦法都能完成這件事，故應(yīng)用分類計數(shù)原理，有10＋12＝22(種)取法．
(2)從移動、聯(lián)通卡中各取一張，則要分兩步完成：先從移動卡中任取一張，再從聯(lián)通卡中任取一張，故應(yīng)用分步計數(shù)原理，有10×12＝120(種)取法．
19．(12分)學(xué)校娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，其中會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設(shè)ξ為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且P(ξ>0)＝710.
(1)求娛隊的人數(shù)；
(2)寫出ξ的概率分布并計算Eξ.
　解析　設(shè)既會唱歌又會跳舞的有x人，則娛隊共有(7－x)人，那么只會一項的人數(shù)是(7－2x)人．
(1)∵P(ξ>0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝710，
∴P(ξ＝0)＝310，即C27－2xC27－x＝310，
∴7－2x6－2x7－x6－x＝310，∴x＝2.
故娛隊共有5人．
(2)P(ξ＝1)＝C12•C13C25＝35，P(ξ＝2)＝C22C25＝110，
ξ的概率分布為：
ξ012
P310
35
110

∴Eξ＝0×310＋1×35＋2×110＝45.
20．(12分)一臺機(jī)器由于使用時間較長，生產(chǎn)零件有一些會缺損，按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出的零件有缺損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128
每小時生產(chǎn)缺損零件數(shù)y(件)1198 5
(1)作出散點圖；
(2)如果y與x線性相關(guān)，求出回歸直線方程；
(3)若實際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個，那么，機(jī)器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍？
　解析　(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖：

(2)設(shè)回歸直線方程為y^＝b^x＋a^，
i1234
xi1614128
yi11985
xiyi1761269640
x＝12.5，y＝8.25，i＝14x2i＝660，i＝14xiyi＝438，
∴b^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.729，
a^＝8.25－0.729×12.5＝－0.863.
∴y ∧＝0.729x－0.863.
(3)令0.729x－0.863≤10，解得x≤14.9≈15.
故機(jī)器的運轉(zhuǎn) 速度應(yīng)控制在15轉(zhuǎn)/秒內(nèi)．
21．(12分)將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌�小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左 、右兩邊下落的概率都是12.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；
(2)在容器入口處依次放入4個小球，記ξ為落入A袋中的小球個數(shù)，試求ξ＝3的概率和ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.
　解析　(1)記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則事件A的對立事件為B，而小球落入B袋中當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下，故：P(B)＝123＋123＝14，
從而P(A)＝1－P(B)＝1－14＝34.
(2)顯然，隨機(jī)變量ξ～B4，34，
故P(ξ＝3)＝C34×343×14＝2764.
ξ的分布列如下：
ξ01234
P1256
364
27128
2764
81256

∴Eξ＝0×1256＋1×364＋2×27128＋3×2764＋4×81256＝3.

22．(12分)在2012年春運期間，一名大學(xué)生要從廣州回到濟(jì)南老家有兩種選擇，即坐火車或汽車．已知該大學(xué)生先去買火車票的概率是先去買汽車票概率的3倍，汽車票隨時都能買到．若先去買火車票，則買到火車票的概率為0.6，買不到火車票，再去買汽車票．
(1)求這名大學(xué)生先去買火車票的概率；
(2)若火車票的價格為120元，汽車票的價格為280元，設(shè)該大學(xué)生購買車票所花費錢數(shù)為ξ，求ξ的期望值．
　解析　(1)設(shè)先去買火車票的概率為P(A)，先去買汽車票的概率為P(B)，]
則由條件可知PA＝3PB，PA＋PB＝1，
解得PA＝0.75，PB＝0.25.
即先去買火車票的概率為0.75.
(2)該大學(xué)生首先到火車站且買到火車票的概率為0.75×0.6＝0.45，
∴該大學(xué)生買汽車票的概率為1－0.45＝0.55.
設(shè)該大學(xué)生購買車票所花費錢數(shù)為ξ，可得ξ的分布列如下：
ξ 120280
P0.450.55
∴該大學(xué)生購買車票所花費錢數(shù)的期望值：
Eξ＝120×0.45＋280×0.55＝208.

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