2013屆常德市一中高三第二次月考數(shù)學(xué)試卷 （理科）
本試卷滿分150分， 考試時間120分鐘. 2012年10月8日

一.：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，
只有一項是符合題目要求的．請把答案填在答卷頁的表格內(nèi)．
1. 已知集合 ≥ ，集合 ，則 = （ ）
A． B． C． ≤ ≤ D． ≤
2. 設(shè)向量 ， ，則 是 ”的 （　�。�
A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3. 設(shè)函數(shù) ，則 的值為 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4. 在 中， ， ， ，則 中最短邊的邊長等于（ ）
A. B. C . D .
5.設(shè)等差數(shù)列 滿足： 則 （ ）
A．14B．21C．28D．35
6. 函數(shù) 圖象的一個對稱軸方程是( )
A. B. C. D.
7. 如圖，半圓的直徑AB=6，O為圓心，C為半圓上
不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，
則 的最小值是 ( )
A． B. C. D.
8.函數(shù) 的圖象上存在不同的三點到原點的距離構(gòu)成等比數(shù)列，則以下不可能成為該等比數(shù)列的公比的數(shù)是 （ ）
A． B． C． D．
二.題：（只要求寫出最后結(jié)果，并把結(jié)果寫在答卷頁的相應(yīng)位置上，每題5分，共35分）
9. 函數(shù) 的定義域為
10.設(shè)定義域為R的函數(shù)y＝f(x)滿足： ，則不等式 的解集是
11. 的值等于 ．
12. 若向量 ， 滿足 ， ，且 ，則 與 的夾角為
13. 已知A、、B三點共線，且 , ,則實數(shù)t的值為
14. 若滿足條件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有兩個，那么a的取值范圍是
15. ①若函數(shù) 在 上存在零點，則實數(shù) 的取值范圍是
②若函數(shù) 在 上存在兩個不同的零點，則實數(shù) 的取值范圍是
三、解答題：（本大題共6個小題，滿分75分．解答中應(yīng)寫出字說明、證明過程或演算步驟．）
16. 設(shè)銳角△A BC中，角A，B，C的對邊分別為 ，b，c，滿足： 。
（1）求角C；（2）若 ＝2，△ABC 的面積為 ，求 的值。

17. 已知向量a＝(sin θ，－2) 與向量b＝(1，cos θ ) 互相垂直，其中θ .
(1) 求sin θ和cos θ的值； (2) 若5cos(θ－ )＝35cos ，0＜φ＜ ，求 的值．

18. 已知等差數(shù)列 的公差不為零，且 ， 成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）若數(shù)列 滿足 ，求數(shù)列 的前 項和 ．

19. 設(shè)函數(shù) ，其中 .
（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對 ， ，都有 ≤ 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍。

20. 某學(xué)校要建造一個面積為10 000平方米的運動場．如圖，運動場是由一個矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個半圓組成．跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運動場除跑道外，其它地方均鋪設(shè)草皮．
設(shè)建造塑膠跑道每平方米的造價為150元，草皮每平方米的造價為30元．
(1)設(shè)半圓的半徑OA＝r (米)，求建造塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系S(r)；
(2)設(shè)r [30,40]，問當r取何值時，這個運動場的造價最低？其最低造價為多少元？(精確到元)

21.已知數(shù)列 是首項為 的等比數(shù)列，且滿足 ， .
⑴求常數(shù) 的值和等比數(shù)列 的通項公式；
⑵若依次抽去數(shù)列 中的第一項、第四項、第七項、……、第 項、……，余下的項按 原的順序組成一個新的數(shù)列 ，設(shè)數(shù)列 的前 項和為 .問：是否存在正整數(shù) ，使得 。若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù) 的值；若不存在，請說明理由.

2013屆常德市一中高三第二次月考數(shù)學(xué)答案
理 科
一.：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，
只有一項是符合題目要求的．請把答案填在答卷頁的表格內(nèi)．
（ 每小題5分，共4 0分．）

12345678
DADACBAD

二、題答案：（每小題5分，共3 5分．）
9. ； 10.
11. 2 ； 12. 1350 (或 )
13. -3 ； 14. ；
15.① ②

三、解答題：（本大題共6個小題，滿分75分．解答中應(yīng)寫出字說明、證明過程或演算步驟．）

16. （1）由 ，得 ,
即 ，又 ，所以 ；
（2）由 , 得
由 , 得 ，從而解得 。

17.（1）由向量a＝(sin θ，－2) 與向量b＝(1，cos θ)互相垂直，得 ，
又 ， 其中θ∈0，π2， 解得 ， 。
（2）由5cos(θ－φ)＝35cos φ，得 ，
將 ， 代入，得 ，
即 ，又0＜φ＜π2，所以， 。
18.（1）由 ，得 ；由 成等比數(shù)列，得 ，
其中 ，解得 ，所以， 。
（2）由 ，①
當 時， ；
當 時， ， ②
①-② 得 ，得 ，所以，
當 時， ；
當 時， �？傊�， 。

19.（1）由 ，得 ，
即 ，其中 ，解得， ，
所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是： ，遞減區(qū)間是 。
（2）若對 ， ，都有 ≤ 恒成立，
只需 ≤ 。
由（1）得 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，所以，當 時
- ≤ ≤ ，同理，- ≤ ≤ ，
所以，- ≤ - ≤ ， ≤ ≤ ，
= ，所以， ≥ 。
20. (1) 設(shè)矩形 中 ，則 ，解得 ，
塑膠跑道面積S＝π[r2－(r－8)2]＋8×10 000－πr22r×2＝80 000r＋8πr－64π.
∵πr2＜10 000，∴0＜r＜100π.
(2)設(shè)運動場的造價為y元，y＝150×80 000r＋8πr－64π＋30×10 000－80 000r－8πr＋64π
＝300 000＋120×80 000r＋8πr－7 680π.
令f(r)＝80 000r＋8πr，∵f′(r)＝8π－80 000r2，當r∈[30,40]時，f′(r)＜0，
∴函數(shù)y＝300 000＋120×80 000r＋8πr－7 680π，在[30,40]上為減函數(shù)．
∴當r＝40時，yin≈636 510，即運動場的造價最低為636 510元．

21. （1）解：由 得 ， ，
又因為存在常數(shù) ，使得數(shù)列 為等比數(shù)列，
則 即 ，所以 .
故數(shù)列 為首項是2，公比為2的等比數(shù)列，即 .

（2）解：當 時， ；當 時， ，
所以 .
注意到 是首項 、公比 的等比數(shù)列， 是首項 、公比 的等比數(shù)列，則
（1）當 時，

；
（2）當 時，
.
假設(shè)存在正整數(shù) 滿足條件，則 ，
則（1）當 時，
，
即當 時滿足條件；
（2）當 時，
.
因為 ，所以此時無滿足條件的正整數(shù) .
綜上所得，當且僅當 時， .

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