高三年級(jí)第二學(xué)期徐匯區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科
學(xué)習(xí)能力診斷卷 （理科試卷）
（考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分） 2013.4
一．題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分.
1．若函數(shù) 的反函數(shù)圖像過點(diǎn) ，則 = .
2．已知函數(shù) 的值域?yàn)?，集合 ，則 = .
3．已知 ，且 ，則 =___________.
4．已知圓錐的母線長(zhǎng)為 ，側(cè)面積為 ，則此圓錐的體積為__________（結(jié)果保留 ）.
5．已知 （ 為虛數(shù)單位）是一元二次方程
( 均為實(shí)數(shù))的一個(gè)根，則 =__________.
6．如圖給出的是計(jì)算 的值的一個(gè)程序框圖，
圖中空白執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入 .
7. 在極坐標(biāo)系中,過圓 的圓心,且垂直于極軸的直線的
極坐標(biāo)方程是__________.
8. 將參數(shù)方程 （ 為參數(shù)， ）化為普通方程，
所得方程是_____ _____.
9. 在二項(xiàng)式 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值是 ，
則 = .
10．一質(zhì)地均勻的正方體三個(gè)面標(biāo)有數(shù)字 ，另外三個(gè)面標(biāo)有數(shù)字 .將此正方體連續(xù)拋擲兩次，
若用隨機(jī)變量 表示兩次拋擲后向上面所標(biāo)有的數(shù)字之積，則數(shù)學(xué)期望 =___________.
11．已知橢圓 內(nèi)有兩點(diǎn) 為橢圓上一點(diǎn)，
則 的最大值為 .
12.如圖， 為直線 外一點(diǎn)，若 中任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等，
設(shè) ，用 表示 ，其結(jié)果為 .
13.設(shè)函數(shù) ，將 向左平移 個(gè)單位得到函數(shù) ，將 向上平移
個(gè)單位得到函數(shù) ,若 的圖像恒在 的圖像的上方，則正數(shù) 的取值范圍為 .
14.如圖，現(xiàn)將一張正方形紙片進(jìn)行如下操作：第一步，將紙片以 為頂點(diǎn)，任意向上翻折，折痕與
交于點(diǎn) ，然后復(fù)原，記 ；第二步，將紙片以 為頂點(diǎn)向下翻折，使 與
重合，得到折痕 ,然后復(fù)原，記 ；第三步，將紙片以 為頂點(diǎn)向上翻折，使
與 重合，得到折痕 ，然后復(fù)原，記 ；按此折法從第二步起重復(fù)以上步驟……，
得到 ，則 .
二．（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分.
15．已知 為實(shí)數(shù)，命題甲： ，命題乙： ，則甲是乙的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
16．已知函數(shù) ，設(shè) ，則 是 （ ）
A.奇函數(shù)，在 上單調(diào)遞減
B.奇函數(shù)，在 上單調(diào)遞增
C.偶函數(shù)，在 上遞減，在 上遞增
D.偶函數(shù)，在 上遞增，在 上遞減
17．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22 (0C)”.現(xiàn)有甲、乙、丙
三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：
① 甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 ，眾數(shù)為 ；
② 乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 ，總體均值為 ；
③ 丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是 ，總體均值為 ，總體方差為 ；
則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有 ( )
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
18. 如圖所示，向量 的模是向量 的模的 倍， 的夾角為 ,那么我們稱向量 經(jīng)過
一次 變換得到向量 .在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)起始向量 ，向量 經(jīng)過 次
變換得到的向量為 ，其中 為逆時(shí)針排列，
記 坐標(biāo)為 ，則下列命題中不正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三．解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
19．(本題滿分12分)
在 中， 分別是角 的對(duì)邊，且 ,若
的面積 ，求 的值.
20．(本題滿分14分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
某輪船公司的一艘輪船每小時(shí)花費(fèi)的燃料費(fèi)與輪船航行速度的平方成正比，比例系數(shù)為 .輪船的
最大速度為 海里/小時(shí).當(dāng)船速為 海里/小時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí) 元，其余航行運(yùn)作費(fèi)用（不論速度如何）總計(jì)是每小時(shí) 元.假定運(yùn)行過程中輪船以速度 勻速航行．
（1）求 的值；
（2）求該輪船航行 海里的總費(fèi)用 （燃料費(fèi)+航行運(yùn)作費(fèi)用）的最小值.
21．(本題滿分14分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
如圖，已知 是正三棱柱，它的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是 ， 為側(cè)棱 的中點(diǎn)．
（1）求異面直線 與 所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求直線 到平面 的距離.
22．(本題滿分16分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，對(duì)任意的正整數(shù) ，將集合 中的三個(gè)元素排成
一個(gè)遞增的等差數(shù)列，其公差為 ，求證：數(shù)列 為等比數(shù)列；
（3）對(duì)（2）題中的 ，求集合 的元素個(gè)數(shù).
23．(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題有三個(gè)問題情形，每位考生只能選擇一個(gè)作答，若多答，只對(duì)所答情形中最前面的一個(gè)記分，情形一、二、三滿分依次為5分、6分、8分.
已知雙曲線 的中心在原點(diǎn)， 是它的一個(gè)頂點(diǎn)， 是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.
(1)求雙曲線 的方程；
(2)若過點(diǎn)( )任意作一條直線與雙曲線 交于 兩點(diǎn) ( 都不同于點(diǎn) )，
求證： 為定值；
(3)對(duì)于雙曲線?: ， 為它的右頂點(diǎn)， 為雙曲線?上的兩點(diǎn)
(都不同于點(diǎn) )，且 ，那么直線 是否過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；
若不是，說明理由.然后在以下三個(gè)情形中選擇一個(gè)，寫出類似結(jié)論（不要求書寫求解或證明過程）.情形一：雙曲線 及它的左頂點(diǎn)；
情形二：拋物線 及它的頂點(diǎn)；
情形三：橢圓 及它的頂點(diǎn).
（理）參考答案
一．題:(本題共有14題，每小題4分)
1． 2. 3. 4. 5. 19 6． 7.
8. ( ) 9. 10. 11. 12.
13. 14.
二．：（本題共有4小題，每小題5分）
15. B 16. B 17. C 18.D
三．解答題
19．（本題12分）
解：由條件可得 ，……………2分
即 ，……………4分
………………………………8分
由余弦定理 ,得 ………………10分
于是， . ………………………………………12分
20.（本題14分）本題共有2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.
解：（1）由題意得燃料費(fèi) ，………………………………2分
把 =10， 代入得 .………………………………………………6分
（2） ，……………………………………9分
= ，………………………11分
其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立，解得 ，……………13分
所以，該輪船航行 海里的總費(fèi)用 的最小值為2400（元）. ……………………………14分
21．（本題14分）本題共有2題，第(1)小題6分,第(2)小題8分.
解：（1）方法一：
以 中點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.………1分
由題意得
則 . .............3分
設(shè) 為向量 的夾角，則
，.....5分
異面直線 與 所成角的大小為arccos . ...... 6分
方法二：取 中點(diǎn) ，連結(jié) .
………………………………….2分
（或其補(bǔ)角）為異面直線 所成的角. ……3分
由題意得:在 中， ;在 中， ;……………………4分
在等腰三角形 中，
………5分
所以異面直線 與 所成角的大小為 . .... 6分
（2）方法一：
由題意可得 ,
所以， 到平面 的距離即為 到平面 的距離，設(shè)為 . …………….8分
設(shè)平面 的法向量為 ， ,
由 得
,…………………11分
,
即 . ……………………………………………………12分
所以
故直線 到平面 的距離為 .…………………………………14分
方法二：
由題意可得 ,
所以， 到平面 的距離即為 到平面 的距離，設(shè)為 .…………….8分
由題意得 ，
等腰 底邊 上的高為 ，
則 ，
且 到平面 的距離為 ，………………………………………12分
由 得……………………………………………………………13分
，則 ，
所以，直線 到平面 的距離為 .……………14分
22．(本題滿分16分) 本題共有3個(gè)小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分, 第（3）小題滿分6分.
解：(1)由條件得 ，即 ,…………………………..2分
所以， . ……………………………………………………..4分
(2) 由（1）可知
所以， ， ,
，…………………………..7分
由 及 得 依次成遞增的等差數(shù)列,……………..8分
所以 ，…………………………..9分
滿足 為常數(shù)，所以數(shù)列 為等比數(shù)列. …………………………..10分
（3）①當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，
，…………………………..12分
同樣，可得 ,
所以，集合 的元素個(gè)數(shù)為
；……..13分
②當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，同理可得集合 的元素個(gè)數(shù)為 . .…..16分
23．(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題有三個(gè)問題情形，每位考生只能選擇一個(gè)作答，若多答，只對(duì)所答情形中最前面的一個(gè)記分，情形一、二、三滿分依次為5分、7分、8分。
解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為 ，則 ，…….2分
又 ，得 ，所以，雙曲線C的方程為 . ………….4分
(2)當(dāng)直線 垂直于 軸時(shí)，其方程為 ， 的坐標(biāo)為( , )、( , )，
，得 =0. ………………..6分
當(dāng)直線 不與 軸垂直時(shí)，設(shè)此直線方程為 ，由 得
.
設(shè) ，則 , ，……………..8分
故
.……....9分
＋ ＋ =0 . 綜上， =0為定值. ………………10分
(3)當(dāng) 滿足 時(shí)，取 關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn) 、 ，由對(duì)稱性知 ，此時(shí) 與 所在直線關(guān)于 軸對(duì)稱，若直線 過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在 軸上. …… ..11分
設(shè)直線 的方程為： ，
由 ，得
設(shè) ，則 , ，
由 ，得 ， ，
即 ，
，
化簡(jiǎn)得， 或 (舍)， ……………………………………….13分
所以，直線 過定點(diǎn)( ,0). ………………………………..14分
情形一：在雙曲線? ： 中，若 為它的左頂點(diǎn)， 為雙曲線?上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn) )，且 ，則直線 過定點(diǎn)( ,0). …….15分
情形二：在拋物線 中，若 為拋物線上的兩點(diǎn)(都不同于原點(diǎn) )，且 ，則直線 過定點(diǎn) . …………..16分
情形三：（1）在橢圓 中，若 為它的右頂點(diǎn)， 為橢圓上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn) ), 且 ，則直線 過定點(diǎn)( ,0)；…………..15分
（2）在橢圓 中，若 為它的左頂點(diǎn)， 為橢圓上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn) )，且 ，則直線 過定點(diǎn)( ,0) ；………..16分
（3）在橢圓 中，若 為它的上頂點(diǎn)， 為橢圓上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn) ), 且 ，則直線 過定點(diǎn)(0, )； ………..17分


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