2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）
數(shù) 學(xué)（理工類）
【34】（A，湖北，理1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) （ 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考點(diǎn)名稱 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念
【34】（A，湖北，理1）D
解析： ，則 ，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z（1，－1）位于第四象限.
【1】（A，湖北，理2）已知全集為 ，集合 ， ，則
A． B．
C． D．
考點(diǎn)名稱 集合
【1】（A，湖北，理2）C
解析：∵ ， ，∴ .
【2】（A，湖北，理3文3）在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次．設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為
A． ∨ B． ∨ C． ∧ D． ∨
考點(diǎn)名稱 常用邏輯語句
【2】（A，湖北，理3文3）A
解析：因?yàn)閜是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則 是“沒有降落在指定范圍”， 是“乙
沒有降落在指定范圍”，所以命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為 ∨ .
【6】（B，湖北，理4文6）將函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是
A． B． C． D．
考點(diǎn)名稱 三角函數(shù)及其圖象與性質(zhì)
【6】（B，湖北，理4文6）B
解析：因?yàn)?可化為 （x∈R），將它向左平移 個(gè)單位得 ，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.
【17】（B，湖北，文2理5）已知 ，則雙曲線 ： 與 ： 的
A．實(shí)軸長相等 B．虛軸長相等 C．焦距相等 D．離心率相等
考點(diǎn)名稱 圓錐曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
【17】（B，湖北，文2理5）D
解析：對(duì)于雙曲線C1，有 ， . 對(duì)于雙曲線C2，有 ， .即這兩雙曲線的離心率相等.
【7】（B，湖北，理6文7）已知點(diǎn) 、 、 、 ，則向量 在 方向上的投影為
A． B． C． D．
考點(diǎn)名稱 平面向量的概念及其運(yùn)算
【7】（A，湖北，理6文7）A
解析： =（2,1）， =（5,5），則向量 在向量 方向上的射影為
.
【31】（C，湖北，理7）一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度 （t的單位：s，v的單位：m/s）行駛至停止. 在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離（單位：m）是
A． B． C． D．
考點(diǎn)名稱 定積分與微積分基本定理
【31】（C，湖北，理7）C
解析：令 =0，解得t ＝4或t＝ （不合題意，舍去），即汽車經(jīng)過4秒中后停止，在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離為
＝ .
【21】（B，湖北，理8）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡單幾何體組成，其體積分別記為 ， ， ， ，上面兩個(gè)簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡單幾何體均為多面體，則有
A． B． C． D．
考點(diǎn)名稱 空間幾何體與三視圖
【21】（B，湖北，理8） C
解析：顯然 ，所以B不正確. 又 ， ，
， ，從而 .
【26】（B，湖北，理9）如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體. 經(jīng)過攪
拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為 ，則 的均值
A． B． C． D．
考點(diǎn)名稱 統(tǒng)計(jì)
【26】（B，湖北，理9）B 125個(gè)同樣大小的小正方體的面數(shù)共有125×6=750，涂了油漆的面數(shù)有25×6=150.
每一個(gè)小正方體的一個(gè)面涂漆的頻率為 ，則它的涂漆面數(shù)為 的均值 .
【29】（C，湖北，理10）已知 為常數(shù)，函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) ， ，則
A． ， B． ，
C． ， D． ，
考點(diǎn)名稱 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
【29】（C，湖北，理10）D
解析： ，由 由兩個(gè)極值點(diǎn)，得 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，即 有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，從而直線 與曲線 有兩個(gè)交點(diǎn). 過點(diǎn)（0，－1）作 的切線，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則切線的斜率 ，切線方程為 . 切點(diǎn)在切線上，則 ，又切點(diǎn)在曲線 上，則 ，即切點(diǎn)為（1，0），切線方程為 . 再由直線 與曲線 有兩個(gè)交點(diǎn).，知直線 位于兩直線 和 之間，如圖所示，其斜率2a滿足：0＜2a＜1，解得0＜a＜ . .則這函數(shù)的兩個(gè)極點(diǎn) 滿足 ，所以 ，而 ，即 ，所以 .
【26】（A，湖北，理11）從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示.
（Ⅰ）直方圖中 的值為_________；
（Ⅱ）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間 內(nèi)的戶數(shù)為_________.
考點(diǎn)名稱 統(tǒng)計(jì)
【26】（A，湖北，理11）（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70
解析：（Ⅰ）
＝0.0044；
（Ⅱ）用電量落在區(qū)間 內(nèi)的戶數(shù)為 .
【24】（A，湖北，理12）如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果 _________.
考點(diǎn)名稱 算法初步與框圖
【24】（A，湖北，理12）5
解析：已知初始值 ，∵ ，則執(zhí)行程序，得 ；因?yàn)?，則執(zhí)行程序，得 ； ，則第三次執(zhí)行程序，得 ；∵ ，則第四次執(zhí)行程序，得 ；∵ ，執(zhí)行輸出i， .
【13】（C，湖北，理13）設(shè) ，且滿足： ， ，則 _________.
考點(diǎn)名稱
【13】（C，湖北，理13）
解析：
【39】（湖北理14）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù). 如三角形數(shù)1，3，6，10， ，第 個(gè)三角形數(shù)為 . 記第 個(gè) 邊形數(shù)為 ，以下列出了部分k邊形數(shù)中第 個(gè)數(shù)的表達(dá)式：
三角形數(shù) ，
正方形數(shù) ，
五邊形數(shù) ，
六邊形數(shù) ，
………………………………………
可以推測(cè) 的表達(dá)式，由此計(jì)算 _________.
考點(diǎn)名稱 創(chuàng)新與拓展
【13】（C，湖北，理13）1000
解析：三角形數(shù) ，
正方形數(shù) = ，
五邊形數(shù) = ，
六邊形數(shù) = = ，
………………………………………
推測(cè)k邊形 .
所以 .
【37】（B，湖北，理15）如圖，圓 上一點(diǎn) 在直徑 上的射影為 ，點(diǎn) 在半徑 上的射影為 ．若 ，則 的值為_________．
考點(diǎn)名稱 選修4-1：幾何證明選講
【37】（B，湖北，理15）8
解析：根據(jù)題設(shè)，易知 ，
Rt△ODE∽R(shí)t△DCE∽R(shí)t△OCD，∴ ，即CO=3OD=9OE，
在Rt△ODE中， ，
在Rt△CDE中， ，即 ，∴ .
【36】（A，湖北，理16）
在直角坐標(biāo)系 中，橢圓 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)， ）. 在
極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸
為極軸）中，直線 與圓 的極坐標(biāo)方程分別為 （m為非零常數(shù)）
與 . 若直線 經(jīng)過橢圓 的焦點(diǎn)，且與圓 相切，則橢圓 的離心率為_________.
考點(diǎn)名稱 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
【36】（A，湖北，理16） 橢圓C的方程可以化為 ，圓O的方程可化為 ，直線l的方程可化為 ，因?yàn)橹本�l經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則 ， ， ，所以橢圓的離心率 .
【10】（B，湖北，理17）在△ 中，角 ， ， 對(duì)應(yīng)的邊分別是 ， ， . 已知 .
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ 的面積 ， ，求 的值.
考點(diǎn)名稱 解三角形
【10】（B，湖北，理17）（Ⅰ）由 ，得 ,
即 ，解得 或 （舍去）.
因?yàn)?，所以 .
（Ⅱ）由 得 . 又 ，知 .
由余弦定理得 故 .
又由正弦定理得 .
【19】（B，湖北，理18）已知等比數(shù)列 滿足： ， .
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù) ，使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，說明理由.
考點(diǎn)名稱 等比數(shù)列
【19】（B，湖北，理18）（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列 的公比為q，則由已知可得
解得 或
故 ，或 .
（Ⅱ）若 ，則 ，故 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，
從而 .
若 ，則 ，故 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，
從而 故 .
綜上，對(duì)任何正整數(shù) ，總有 .
故不存在正整數(shù) ，使得 成立.
【23】（B，湖北，理19）如圖， 是圓 的直徑，點(diǎn) 是圓 上異于 的點(diǎn)，直線 平面 ， ， 分別是 ， 的中點(diǎn).
（Ⅰ）記平面 與平面 的交線為 ，試判斷直線 與平面 的位置關(guān)系，并加以證明；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線l與圓 的另一個(gè)交點(diǎn)為 ，且點(diǎn)Q滿足 . 記直線 與平面 所成的角為 ，異面直線 與 所成的角為 ，二面角 的大小為 ，求證： .
考點(diǎn)名稱 空間向量與立體幾何
【23】（B，湖北，理19）（Ⅰ）直線 ∥平面 ，證明如下：
連接 ，因?yàn)?， 分別是 ， 的中點(diǎn)，所以 ∥ .
又 平面 ，且 平面 ，所以 ∥平面 .
而 平面 ，且平面 平面 ，所以 ∥ .
因?yàn)?平面 ， 平面 ，所以直線 ∥平面 .
（Ⅱ）（綜合法）如圖1，連接 ，由（Ⅰ）可知交線 即為直線 ，且 ∥ .
因?yàn)?是 的直徑，所以 ，于是 .
已知 平面 ，而 平面 ，所以 .
而 ，所以 平面 .
連接 ， ，因?yàn)?平面 ，所以 .
故 就是二面角 的平面角，即 .
由 ，作 ∥ ，且 .
連接 ， ，因?yàn)?是 的中點(diǎn)， ，所以 ，
從而四邊形 是平行四邊形， ∥ .
連接 ，因?yàn)?平面 ，所以 是 在平面 內(nèi)的射影，
故 就是直線 與平面 所成的角，即 .
又 平面 ，有 ，知 為銳角，
故 為異面直線 與 所成的角，即 ，
于是在 △ ， △ ， △ 中，分別可得
， ， ，
從而 ，即 .
（Ⅱ）（向量法）如圖2，由 ，作 ∥ ，且 .
連接 ， ， ， ， ，由（Ⅰ）可知交線 即為直線 .
以點(diǎn) 為原點(diǎn)，向量 所在直線分別為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ，則有
,
.
于是 ， ， ，
所以 ，從而 .
又取平面 的一個(gè)法向量為 ，可得 ，
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
所以由 可得 取 .
于是 ，從而 .
故 ，即 .
【40】（B，湖北，理20）假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù) 是服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量. 記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為 .
（Ⅰ）求 的值；
（參考數(shù)據(jù)：若 ～ ，有 ， ， .）
（Ⅱ）某客運(yùn)公司用 、 兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次. 、 兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛. 公司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求 型車不多于 型車7輛. 若每天要以不小于 的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備 型車、 型車各多少輛?
考點(diǎn)名稱 隨機(jī)變量及其分布，簡單的線性規(guī)劃
【40】（B，湖北，理20）（Ⅰ）由于隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 ，故有 ，
.
由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得
.
（Ⅱ）設(shè) 型、 型車輛的數(shù)量分別為 輛，則相應(yīng)的營運(yùn)成本為 . 依題意, 還需滿足：
.
由（Ⅰ）知， ，故 等價(jià)于 .
于是問題等價(jià)于求滿足約束條件
且使目標(biāo)函數(shù) 達(dá)到最小的 .
作可行域如圖所示, 可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 .
由圖可知，當(dāng)直線 經(jīng)過可行域的點(diǎn)P時(shí)，直線 在y軸上截距 最小，即z取得最小值.
故應(yīng)配備 型車5輛、 型車12輛.
【16】（C，湖北，理21）如圖，已知橢圓 與 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) ，長軸均為 且在 軸上，短軸長分別為 ， ，過原點(diǎn)且不與 軸重合的直線 與 ， 的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D．記 ，△ 和△ 的面積分別為 和 .
（Ⅰ）當(dāng)直線 與 軸重合時(shí)，若 ，求 的值；
（Ⅱ）當(dāng) 變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得 ？并說明理由．
考點(diǎn)名稱 直線與圓錐曲線
【16】（C，湖北，理21）依題意可設(shè)橢圓 和 的方程分別為
： ， ： . 其中 ，
（Ⅰ）解法1：如圖1，若直線 與 軸重合，即直線 的方程為 ，則
， ，所以 .
在C1和C2的方程中分別令 ，可得 ， ， ，
于是 .
若 ，則 ，化簡得 . 由 ，可解得 .
故當(dāng)直線 與 軸重合時(shí)，若 ，則 .
解法2：如圖1，若直線 與 軸重合，則
， ；
， .
所以 .
若 ，則 ，化簡得 . 由 ，可解得 .
故當(dāng)直線 與 軸重合時(shí)，若 ，則 .
（Ⅱ）解法1：如圖2，若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得 . 根據(jù)對(duì)稱性，
不妨設(shè)直線 ： ，
點(diǎn) ， 到直線 的距離分別為 ， ，則
因?yàn)?， ，所以 .
又 ， ，所以 ，即 .
由對(duì)稱性可知 ，所以 ，
，于是
. ①
將 的方程分別與C1，C2的方程聯(lián)立，可求得
， .
根據(jù)對(duì)稱性可知 ， ，于是
. ②
從而由①和②式可得
. ③
令 ，則由 ，可得 ，于是由③可解得 .
因?yàn)?，所以 . 于是③式關(guān)于 有解，當(dāng)且僅當(dāng) ，
等價(jià)于 . 由 ，可解得 ，
即 ，由 ，解得 ，所以
當(dāng) 時(shí)，不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得 ；
當(dāng) 時(shí)，存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l使得 .
解法2：如圖2，若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得 . 根據(jù)對(duì)稱性，
不妨設(shè)直線 ： ，
點(diǎn) ， 到直線 的距離分別為 ， ，則
因?yàn)?， ，所以 .
又 ， ，所以 .
因?yàn)?，所以 .
由點(diǎn) ， 分別在C1，C2上，可得
， ，兩式相減可得 ，
依題意 ，所以 . 所以由上式解得 .
因?yàn)?，所以由 ，可解得 .
從而 ，解得 ，所以
當(dāng) 時(shí)，不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得 ；
當(dāng) 時(shí)，存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l使得 .
【40】（湖北理22）設(shè) 是正整數(shù)， 為正有理數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù) 的最小值；
（Ⅱ）證明： ；
（Ⅲ）設(shè) ，記 為不小于 的最小整數(shù)，例如 ， ， .
令 ，求 的值.
（參考數(shù)據(jù)： ， ， ， ）
考點(diǎn)名稱 導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的性質(zhì)，不等式，創(chuàng)新與拓展，交匯與整合
【40】（湖北理22）（Ⅰ）因?yàn)?，令 ，解得 .
當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 內(nèi)是減函數(shù)；
當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 內(nèi)是增函數(shù).
故函數(shù) 在 處取得最小值 .
（Ⅱ）由（Ⅰ），當(dāng) 時(shí)，有 ，即
，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立，
故當(dāng) 且 時(shí)，有
. ①
在①中，令 （這時(shí) 且 ），得 .
上式兩邊同乘 ，得 ，即
②
當(dāng) 時(shí)，在①中令 （這時(shí) 且 ），類似可得
③
且當(dāng) 時(shí)，③也成立.
綜合②，③得
④
（Ⅲ）在④中，令 ， 分別取值81，82，83，…，125，得
，
.
將以上各式相加，并整理得
.
代入數(shù)據(jù)計(jì)算，可得 ， .


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