2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 4-7 解三角形應(yīng)用舉例但因?yàn)闇y(cè)試 新人教B版

1.(2011•舟期末)某人向正東方向走x k后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 k，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好3 k，那么x的值為(　　)
A.3　　　　　　 　　　B．23
C．23或3 D．3
[答案]　C
[解析]　如圖，△ABC中，AC＝3，BC＝3，∠ABC＝30°，
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB•BC•cos∠ABC，
∴3＝x2＋9－6x•cos30°，∴x＝3或23.

2．為測(cè)量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20的樓頂D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，測(cè)得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是(　　)
A．201＋33 B．201＋32
C．20(1＋3) D．30
[答案]　A

[解析]　如圖所示，四邊形CBD為正方形，而CB＝20，所以B＝20.
又在Rt△AD中，
D＝20，∠AD＝30°，
∴A＝Dtan30°＝2033()，
∴AB＝A＋B＝2033＋20＝201＋33.
3．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南60°西，另一燈塔在船的南75°西，則這艘船的速度是每小時(shí)(　　)
A．5海里 B ．53海里
C．10海里 D．103海里
[答案]　C
[解析]　如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴這艘船的速度是50.5＝10(海里/小時(shí))．

4．()(2010•廣東六校)兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于ak，燈 塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為( 　　)k.(　　)
A．a(chǎn) B.2a
C．2a D.3a
[答案]　D
[解析]　

依題意得∠ACB＝120°.
由余弦定理
cos120°＝AC2＋BC2－AB22AC•BC
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC•BCcos120°
＝a2＋a2－2a2－12＝3a2
∴AB＝3a.故選D.
(理)(2010•北師大附中模擬)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點(diǎn)間的距離是(　　)
A．102海里 B．103海里
C．202海里 D．203海里
[答案]　A
[解析]　如圖，由條件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，

由正弦定理得BCsin30°＝20sin45°，∴BC＝102，故選A.
5．(2011•滄州模擬)有一長(zhǎng)為1的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10°，則斜坡長(zhǎng)為(　　)
A．1 B．2sin10°
C．2cos10° D．cos20°
[答案]　C
[解析]　如圖，BD＝1，∠DBC＝20° ，∠DAC＝10°，

在△ABD中，由正弦定理得1sin10°＝ADsin160°，
∴AD＝2cos10°.
6．江岸邊有一炮臺(tái)高30，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距(　　)
A．103 B．1003
C．2030 D．30
[答案]　A
[解析]　設(shè)炮塔頂A、底D，兩船B、C，則∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝103，BC2＝DB2＋DC2－2DB•DC•cos30°＝300，
∴BC＝103.
7．在地面上一點(diǎn)D測(cè)得一電視塔尖的仰角為45°，再向塔底方向前進(jìn)100，又測(cè)得塔尖的仰角為60°，則此電視塔高約為________．(　　)
A．237 B．227
C．247 D．257
[答案]　A
[解析]　

如圖，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100，∠DAC＝15°，
∵AC＝DC•sin45°sin15°，
∴AB＝AC•sin60°
＝100•sin45°•sin60°sin15°
＝100×22×326－24≈237.∴選A.
8．一船以每小時(shí)15k的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔在北偏東60°方向，行駛4h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為________k.
[答案]　302

[解析]　如圖，依題意有AB＝15×4＝60，∠AB＝30°，∠AB＝45°，在三角形AB中，由正弦定理得60sin45°＝Bsin30°，
解得B＝302(k)．
9．()如圖，在日本地震災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)，一條搜救狗從A處沿正北方向行進(jìn)x 到達(dá)B處發(fā)現(xiàn) 一個(gè)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，行進(jìn)10 到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________.
[答案]　1063
[解析]　由題知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin45°＝10sin60°，∴x＝1063.
(理)(2011•洛陽(yáng)部分重點(diǎn)中學(xué)教學(xué)檢測(cè))在O點(diǎn)測(cè)量到遠(yuǎn)處有一物體在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)刻物體位于P點(diǎn)，一分鐘后，其位置在Q點(diǎn)，且∠POQ＝90°，再過一分鐘，該物體位于R點(diǎn)，且∠QOR＝30°，則tan∠OPQ的值為________．
[答案]　32
[解析]　由于物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意，PQ＝QR，不妨設(shè)其長(zhǎng)度為1.在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ，在△OPR中，由正弦定理得2sin120°＝OPsin∠ORP，在△ORQ中，1sin30°＝OQsin∠ORQ，兩式兩邊同時(shí)相除得OQOP＝tan∠OPQ＝32.

10.(2011•鄭州一測(cè))某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀察點(diǎn)A、B兩地相距100米，∠BAC＝60°，在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚217秒．A地測(cè)得該儀器在C處時(shí)的俯角為15°，A地測(cè)得最高點(diǎn)H的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音的傳播速度為340米/秒)
[解析]　由題意，設(shè)AC＝x，則BC＝x－217×340
＝x－40，
在△ABC內(nèi)，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－
2BA•CA•cos∠BAC，
即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°＋15°＝45° ，
∠CHA＝90°－30°＝60°，
由正弦定理：CHsin∠CAH＝ACsin∠AHC，
可得CH＝AC•sin∠CAHsin∠AHC＝1406.
答：該儀器的垂直彈射高度CH為1406米.

11.在△ABC中，角A、B所對(duì)的邊長(zhǎng)為a、b，則“a＝b”是“acosA＝bcosB”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[答案]　A
[解析]　當(dāng)a＝b時(shí)，A＝B，
∴acosA＝bcosB；
當(dāng)acosA＝bcosB時(shí)，
由正弦定理得sinA•cosA＝sinB•cosB，
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝π2.
則a＝b或a2＋b2＝c2.
所以“a＝b”⇒“acosA＝bcosB”，
“acosA＝bcosB” ⇒/ “a＝b”，故選A.
12．()(2010•東濟(jì)南)設(shè)F1、F2是雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上，若PF1→•PF2→＝0，PF1→•PF2→＝2ac(c為半焦距)，則雙曲線的離心率為(　　)
A.3－12 B.3＋12
C． 2 D.5＋12
[答案]　D
[解析]　由條件知，PF12＋PF22＝F1F22，根據(jù)雙曲線定義得：4a2＝(PF1－PF2)2＝PF12＋PF22－2PF1•PF2＝F1F22－4ac＝4c2－4ac，
∴a2＋ac－c2＝0，∴1＋e－e2＝0，
∵e>1，∴e＝5＋12.
(理)(2010•安徽安慶聯(lián)考)如圖，在△ABC中，tanC2＝12，AH→•BC→＝0，AB→•(CA→＋CB→)＝0，經(jīng)過點(diǎn)B以A、H為兩焦點(diǎn)的雙曲線的離心率為(　　)

A.5＋12 B.5－1
C.5＋1 D.5－12
[答案]　A
[解析]　∵AH→•BC→＝0，∴AH⊥BC，
∵tanC2＝12，∴tanC＝2tanC21－tan2C2＝43＝AHCH，
又∵AB→•(CA→＋CB→)＝0，∴CA＝CB，
∴tanB＝tan180°－C2＝cotC2＝2＝AHBH，
設(shè)BH＝x，則AH＝2x，∴CH＝32x，AB＝5x，由條件知雙曲線中2C＝AH＝2x,2a＝AB－BH＝(5－1)x，
∴e＝ca＝25－1＝5＋12，故選A.
13．△ABC的周長(zhǎng)是20，面積是103， A＝60°，則BC邊的長(zhǎng)等于________．
[答案]　7
[解析]　由已知得a＋b＋c＝20　　　　　 ①12bcsin60°＝103 ②cos60°＝b2＋c2－a22bc ③
由③得b2＋c2－a2＝bc，結(jié)合①知
(20－a)2－2cb－a2＝bc④
又由②得bc ＝40，代入④得a＝7.
14.如圖所示，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，一輪船正向南航行，在B處測(cè)得小島A在 船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測(cè)得小島在船的南偏東45°.如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？
[解析]　在△ABC中，BC＝30，
B＝30°，∠ACB＝135°，
∴∠BAC＝15°.
由正弦定理知BCsinA＝ACsinB，
即30sin15°＝ACsin30°.
AC＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝60cos(45°－30°)
＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)(海里)．
于是，A到BC所在直線的距離為：
ACsin45°＝15(6＋2)×22＝15(3＋1)≈40.98(海里)．
它大于38海里，所以船繼續(xù)向南航行，沒有觸礁的危險(xiǎn)．
15．(2011•遼寧，17)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.
(1)求ba；
(2)若c2＝b2＋3a2，求B.
[解析]　(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.
故sinB＝2sinA，所以ba＝2.
(2)由余弦定理知c2＝b2＋3a2，得cosB＝1＋3a2c.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.
可得cos2B＝12，又cosB>0，故cosB＝22，所以B＝45°.

1．(2011•遼寧鐵嶺六校聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)且在[－3，－2]上是減函數(shù)，α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則f(sinα)與f(cosβ) 的大小關(guān)系是(　　)
A．f(sinα)>f(cosβ)
B．f(sinα)<f(cosβ)
C．f(sinα)＝f(cosβ)
D．f(sinα)與 f(cosβ)的大小關(guān)系不確定
[答案]　A
[解析]　∵f(x＋1)＝－f(x)，
∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期為2，
∵f(x)在[－3，－2]上是減函數(shù)，
∴f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，
∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)在[0,1]上是增函數(shù)，
∵α、β是銳角三角形內(nèi)角，∴π2<α＋β<π，∴π2>α>π2－β>0，∴1>sinα>sinπ2－β＝cosβ>0，
∴f(sinα)>f(cosβ)．
2．(2011•濟(jì)南三模)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的圖象上的兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為22，且過點(diǎn)(2，－12)，則函數(shù)f(x)＝________.
[答案]　sin(π2x＋π6)
[解析]　由題知兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn) 的距離為22，f(x)ax－f(x)in＝2，結(jié)合圖象由勾股定理可得T2＝222－22＝2，故周期T＝4，ω＝2π4＝π2，
又函數(shù)f(x)過點(diǎn)(2，－12)，所以sin(π＋φ)＝－12，
又因?yàn)椋��?≤φ≤π2，所以φ＝π6，
所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝sin(π2x＋π6)．
3．(2011•廣東肇慶模擬)在△ABC中，B＝π3，且BA→•BC→＝43，則△ABC的面積是________．
[答案]　6
[解析]　由已知得BA→•BC→＝accosπ3＝43，
所以ac＝83，
所以△ABC的面積
S＝12acsinB＝12×83×32＝6.
4．(2011•溫州五校聯(lián)考)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，已知點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，且AD→•BC→＝12(a2－3ac)，則角B＝________.
[答案]　30°
[解析]　∵AD→•BC→＝(BD→－BA→)•BC→＝ BD→•BC→－BA→•BC→
＝a2•a－a•c•cosB＝12a2－ac•cosB
又AD→•BC→＝12 (a2－3ac)，
∴cosB＝32，∴B＝30°.
5．(2011•茂名期末)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.
(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面積為3，求a，b的值；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，試判斷△ABC的形狀．
[解析]　(1)∵c＝2，C＝π3，
∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC
得a2＋b2－ab＝4.
又∵△ABC的面積為3，∴12absinC＝3，∴ab＝4.
聯(lián)立方程組a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.
(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，
得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，
即2sinBcosA＝2sinAcosA，
∴cosA•(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，
當(dāng)cosA＝0時(shí)，∵0<A<π，
∴A＝π2，△ABC為直角三角形；
當(dāng)sinA－sinB＝0時(shí)，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，
即△ABC為等腰三角形．
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．

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