福建省2013屆高考壓軸卷
數(shù)學（文）試題（2013.05.24）
科試題
參考公式：
錐體體積公式 ，其中 為底面面積， 為高
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.已知函數(shù) 定義域為 ， 定義域為 ，則 （****）
A． B． C． D．
2. 若 ，則下列不等式成立的是（****）
A. B. C. D.
3．若函數(shù) 是函數(shù) 的反函數(shù)，則 的值是（****）
A． B． C． D．
4.設(shè)a,β分別為兩個不同的平面，直線l a，則“l(fā)?β”是“a?β成立的（****）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.要得到函數(shù) 的圖象,只要將函數(shù) 的圖象（****）
A．向左平移1個單位 B．向右平移1個單位
C．向左平移 個單位 D．向右平移 個單位
6．已知變量x，y滿足約束條件 則z=x+y的最大值為（****）
A.3 B.4 C.5 D.6
7．已知函數(shù) ，則 是（****）
A．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增
B．奇函數(shù)，且在 上單調(diào)遞增
C．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減
D．偶函數(shù)，且在 上單調(diào)遞減
8. 在右側(cè)程序框圖中，輸入 ，按程序運行后輸出的結(jié)果是（****）
A．3 B．4 C．5 D.6
9.若雙曲線 與直線 無交點，則離心率 的取值范圍（****）
A． B． C． D．
10.若 為 內(nèi)一點，且 ，在 內(nèi)隨機撒一顆豆子，則此豆子落在 內(nèi)的概率為（****）
A． B． C． D．
11.如圖，矩形 的一邊 在 軸上，另外兩個頂點 在函數(shù)
的圖象上.若點 的坐標為
，記矩形 的周長
為 ，則 （****）
A.208 B. 216 C. 212 D.220
12．已知 表示大于 的最小整數(shù)，例如 ．下列命題
①函數(shù) 的值域是 ；②若 是等差數(shù)列，則 也是等差數(shù)列；
③若 是等比數(shù)列，則 也是等比數(shù)列；④若 ，則方程 有3個根．
正確的是（****）A．②④ B．③④ C．①③ D．①④
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填寫在答題卡的相應(yīng)位置．
13．已知復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點分別為點A、B，則線段AB的中點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是****
14．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學生的學號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號、29號、42號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的學號是****
15.已知平面上的線段及點 ，在上任取一點 ，線段 長度的最小值稱為點 到線段的距離，記作 ．設(shè)是長為2的線段，點集 所表示圖形的面積為****
16.設(shè) 為正整數(shù)，若 和 除以 的余數(shù)相同，則稱 和 對 同余.記 ，已知 ， ，則 的值可以是**** （寫出以下所有滿足條件的序號）①1007；②2013；③3003；④6002
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．把解答過程填寫在答題卡的相應(yīng)位置．
17．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）求函數(shù) 的最小正周期和值域；
（2）已知 的內(nèi)角 所對的邊分別為 ，若 ，且 求 的面積.
18. （本小題滿分12分）
已知點（1,2）是函數(shù) 的圖象上一點，數(shù)列 的前n項和 .
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）將數(shù)列 前30項中的第3項，第6項，…，第3k項刪去，求數(shù)列 前30項中剩余項的和.
19．（本小題滿分12分）
市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就讀的小學在丙地,三地之間的道路情況如圖所示.假設(shè)工作日不走其它道路,只在圖示的道路中往返,每次在路口選擇道路是隨機的.同一條道路去程與回程是否堵車互不影響.假設(shè)李生早上需要先開車送小孩去丙地小學，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班，
（1）寫出李生可能走的所有路線；（比如DDA表示走D路從甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到達乙）;
（2）假設(shè)從丙地到甲地時若選擇走道路D會遇到擁堵，并且從甲地到乙地時若選擇走道路B也會遇到擁堵，其它方向均通暢，但李生不知道相關(guān)信息，那么從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率是多少？
20．（本小題滿分14分）
如圖， 是半圓 的直徑， 是半圓 上除 、 外的一個動點， 平面 , ， ， ， ．
⑴證明：平面 平面 ；
⑵試探究當 在什么位置時三棱錐 的
體積取得最大值，請說明理由并求出這個最大值．
21．（本小題滿分12分）
如圖，已知拋物線 的焦點在拋物線 上．
（1）求拋物線 的方程及其準線方程；
（2）過拋物線 上的動點 作拋物線 的兩條切線 、 ， 切點為 、 ．若 、 的斜率乘積為 ，且 ，求 的取值范圍．
22.（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ，
（1）當 且 時，證明：對 ， ；
（2）若 ，且 存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 的取值范圍；
（3）數(shù)列 ，若存在常數(shù) ， ，都有 ，則稱數(shù)列 有上界。已知 ，試判斷數(shù)列 是否有上界．
數(shù)學文科試題參考答案
1-5 BCCAC 6-10 DACBA 11-12 BD
13．3－i 14． 16 15. 16.①④
17．解：（1）
所以函數(shù) 的最小正周期 ，值域為
（備注：當 時，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和值域？ ， ，令 ，則
函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)減區(qū)間為
， ，
函數(shù) 的值域為 ）
, , , , ,
,由正弦定理得 ,
18．解：（Ⅰ）把點（1,2）代入函數(shù) ，得 . 當 時， 當 時， 經(jīng)驗證可知 時，也適合上式， .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知數(shù)列 為等比數(shù)列，公比為2，故其第3項，第6項，…，第30項也為等比數(shù)列，首項 公比 為其第10項
∴此數(shù)列的和為 又數(shù)列 的前30項和為 ∴所求剩余項的和為
19．⑴李生可能走的所有路線分別是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB， EEC，EDA，EDB，EDC共12種情況。⑵從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC共4種情況,所以從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率 .
20．證明與求解：⑴因為 是直徑，所以 ，因為 平面 ， ，因為 ，所以 平面
因為 ，又因為 ，所以四邊形 是平行四邊形，所以 ，所以 平面，因為 平面 ，所以平面 平面
⑵依題意， ，
由⑴知 ，
， ，等號當且僅當 時成立，所以當 為半圓弧中點時三棱錐 的
體積取得最大值，最大值為
（備注：此時， ， ，設(shè)三棱錐 的高為 ，則 ， ）．
21．解：（1） 的焦點為 ，
所以 ， ．
故 的方程為 ，其準線方程為 ．
（2）任取點 ，設(shè)過點P的 的切線方程為 ．
由 ，得 ．
由 ，化簡得 ，
記 斜率分別為 ，則 ，
因為 ，所以
所以 ，
所以 ．
22．解：⑴當 且 時，設(shè) ， ， ……1分，解 得 。
當 時， ， 單調(diào)遞增；當 時， ， 單調(diào)遞減，所以 在 處取最大值，即 ， ， 即
（2）若 ， =
所以
因為函數(shù) 存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以 在 上有解
所以 在 上有解
所以 在 上有解，即 使得
令 ，則 ，研究 ，當 時，
所以
（3）數(shù)列 無上界


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