高三數(shù)學（理科）
2013.4
學校_____________班級_______________姓名______________考號___________
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁，共150分�？荚嚂r長120分鐘�？忌鷦�(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
（1）已知全集 ，集合 ，那么集合 為
（A） （B） （C） （D）
（2）已知 為平行四邊形，若向量 ， ，則向量 為
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知圓的方程為 ，那么該圓圓心到直線 （ 為參數(shù)）的距離為
（A） （B） （C） （D）
（4）某游戲規(guī)則如下：隨機地往半徑為1的圓內(nèi)投擲飛標，若飛標到圓心的距離大于 ，則成績?yōu)榧案�；若飛標到圓心的距離小于 ，則成績?yōu)閮?yōu)秀；若飛標到圓心的距離大于 且小于 ，則成績?yōu)榱己�，那么在所有投擲到圓內(nèi)的飛標中得到成績?yōu)榱己玫母怕蕿?br>（A） （B） （C） （D）
（5）已知數(shù)列 中， ， ， ，那么數(shù)列 的前 項和等于
（A） （B） （C） （D）
（6）已知 ， 分別是雙曲線 ： 的兩個焦點，雙曲線 和圓 ： 的一個交點為 ，且 ，那么雙曲線 的離心率為
（A） （B） （C） （D）
（7）已知定義在 上的函數(shù) 的對稱軸為 ，且當 時， .若函數(shù) 在區(qū)間 （ ）上有零點，則 的值為
（A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或
（8）已知向量 ， ， 是坐標原點，若 ，且 方向是沿 的方向繞著 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 角得到的，則稱 經(jīng)過一次 變換得到 .現(xiàn)有向量 經(jīng)過一次 變換后得到 ， 經(jīng)過一次 變換后得到 ，…，如此下去， 經(jīng)過一次 變換后得到 .設(shè) ， ， ，則 等于
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷（共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。
（9）復數(shù) 的虛部是 .
（10） 的展開式中 的系數(shù)是 ．
（11）如圖是甲、乙兩名同學進入高中以來 次體育測試成績的莖葉圖，則甲 次測試成績的平均數(shù)是 ，乙 次測試成績的平均數(shù)與中位數(shù)之差是 ．
（12）如圖，已知 與圓 相切于 ，半徑 ， 交
于 ，若 , ，則 ， ．
（13）有甲、乙、丙在內(nèi)的6個人排成一排照相，其中甲和乙必須相鄰，
丙不排在兩頭，則這樣的排法共有 種．
（14）數(shù)列{an}的各項排成如圖所示的三角形形狀，其中每一行比上一
行增加兩項，若 ， 則位于第10行的第8列的項
等于 ， 在圖中位于 ．（填第幾行的第幾列）
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（15）（本小題共13分）
在△ 中，三個內(nèi)角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值．
（16）（本小題共14分）
如圖，已知 是直角梯形，且 ，平面 平面 ， ， ， ， 是 的中點．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 與平面 所成銳二面角大小的余弦值．
（17）（本小題共13分）
某班聯(lián)歡會舉行抽獎活動，現(xiàn)有六張分別標有1，2，3，4，5，6六個數(shù)字的形狀相同的卡片，其中標有偶數(shù)數(shù)字的卡片是有獎卡片，且獎品個數(shù)與卡片上所標數(shù)字相同，游戲規(guī)則如下：每人每次不放回抽取一張，抽取兩次.
（Ⅰ）求所得獎品個數(shù)達到最大時的概率；
（Ⅱ）記獎品個數(shù)為隨機變量 ，求 的分布列及數(shù)學期望.
（18）（本小題共14分）
已知函數(shù) ，（ 為常數(shù)， 為自然對數(shù)的底）．
（Ⅰ）當 時，求 ；
（Ⅱ）若 在 時取得極小值，試確定 的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)由 的極大值構(gòu)成的函數(shù)為 ，將 換元為 ，試判斷曲線 是否能與直線 （ 為確定的常數(shù)）相切，并說明理由．
（19）（本小題共13分）
已知橢圓 的兩個焦點分別為 ， ，離心率為 ，過 的直線 與橢圓 交于 ， 兩點，且△ 的周長為 ．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）過原點 的兩條互相垂直的射線與橢圓 分別交于 ， 兩點，證明：點 到直線 的距離為定值，并求出這個定值．
（20）（本小題共13分）
設(shè) 是由 個有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個數(shù)組，記作： .其中 稱為數(shù)組 的“元”， 稱為 的下標. 如果數(shù)組 中的每個“元”都是來自 數(shù)組 中不同下標的“元”，則稱 為 的子數(shù)組. 定義兩個數(shù)組 ， 的關(guān)系數(shù)為 .
（Ⅰ）若 ， ，設(shè) 是 的含有兩個“元”的子數(shù)組，求 的最大值；
（Ⅱ）若 ， ，且 ， 為 的含有三個“元”的子數(shù)組，求 的最大值；
（Ⅲ）若數(shù)組 中的“元”滿足 .設(shè)數(shù)組 含有四個“元” ，且 ，求 與 的所有含有三個“元”的子數(shù)組的關(guān)系數(shù) 的最大值.
北京市東城區(qū)2014-2013學年度第二學期高三綜合練習（一）
數(shù)學參考答案 （理科）
一、（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A
（5）C （6）D （7）A （8）B
二、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（9） （10） （11）
（12） （13） （14） 第 行的第 列
注：兩個空的填空題第一個空填對得3分，第二個空填對得2分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因為 ，
由正弦定理可得 ，
因為在△ 中， ，
所以 .
又 ，
所以 .
（Ⅱ）由余弦定理 ，
因為 ， ，
所以 .
因為 ，
所以 .
當且僅當 時， 取得最大值 .
（16）（共14分）
證明（Ⅰ）取 的中點 ，連結(jié) ， ．
因為 是 的中點，
所以 ， ．
因為 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以四邊形 是平行四邊形．
所以 ．
因為 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）因為 ，平面 平面 ，
所以以點 為原點，直線 為 軸，直線 為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 ，則 軸在平面 內(nèi)．
由已知可得 ， ， ， ．
所以 ， ，
設(shè)平面 的法向量為 ．
由
所以
取 ，
所以 ．
又因為平面 的一個法向量為
．
所以 ．
即平面 與平面 所成銳二面角大小的余弦值為 ．
（17）（共13分）
（Ⅰ）由題意可知所得獎品個數(shù)最大為10，概率為：
．
（Ⅱ） 的可能取值是： ．
0246810
所以 ．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）當 時， ．
．
所以 ．
（Ⅱ）
．
令 ，得 或 ．
當 ，即 時，
恒成立，
此時 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，沒有極小值；
當 ，即 時，
若 ，則 ．
若 ，則 ．
所以 是函數(shù) 的極小值點．
當 ，即 時，
若 ，則 ．
若 ，則 ．
此時 是函數(shù) 的極大值點．
綜上所述，使函數(shù) 在 時取得極小值的 的取值范圍是 ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當 ，且 時， ，
因此 是 的極大值點，極大值為 ．
所以 ．
．
令 ．
則 恒成立，即 在區(qū)間 上是增函數(shù)．
所以當 時， ，即恒有 ．
又直線 的斜率為 ，
所以曲線 不能與直線 相切．
（19）（共13分）
解：（I）由題意知， ，所以 ．
因為
所以 ，
所以 ．
所以橢圓 的方程為 ．
（II）由題意,當直線 的斜率不存在，此時可設(shè) ， .
又 ， 兩點在橢圓 上，
所以 ， ．
所以點 到直線 的距離 ．
當直線 的斜率存在時，設(shè)直線 的方程為 ．
由 消去 得
．
由已知 ．
設(shè) ， ．
所以 ， ．
因為 ，
所以 ．
所以 ．
即 ．
所以 ．
整理得 ，滿足 ．
所以點 到直線 的距離
為定值．
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）依據(jù)題意，當 時， 取得最大值為2．
（Ⅱ）①當 是 中的“元”時，由于 的三個“元”都相等及 中 三個“元”的對稱性，可以只計算 的最大值，其中 ．
由 ，
得 ．
當且僅當 ，且 時， 達到最大值 ，
于是 ．
②當 不是 中的“元”時，計算 的最大值，
由于 ，
所以 ．
，
當且僅當 時，等號成立．
即當 時， 取得最大值 ，此時 ．
綜上所述， 的最大值為1．
（Ⅲ）因為 滿足 ．
由 關(guān)系的對稱性，只需考慮 與 的關(guān)系數(shù)的情況．
當 時，有 ．
．
即 ，且 ， ， 時，
的最大值為 ．
當 時， ，
得 最大值小于 ．


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