2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷一）
數(shù) 學（理工類）
參考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面積公式
如果事件相互獨立，那么 其中 表示球的半徑
球的體積公式
如果事件 在一次試驗中發(fā)生的概率是 ，那么
在 次獨立重復試驗中事件 恰好發(fā)生 次的概率 其中 表示球的半徑
第一部分 （ 共60分）
注意事項：
1、必須使用2B鉛筆將答案標號涂在機讀卡上對應題目標號的位置上。
2、本部分共12小題，每小題5分，共60分。
一、選擇題：每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、 的展開式中 的系數(shù)是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、復數(shù) （ ）
A、 B、 C、 D、
3、函數(shù) 在 處的極限是（ ）
A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于
4、如圖，正方形 的邊長為 ，延長 至 ，使 ，連接 、 則 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、函數(shù) 的圖象可能是（ ）
6、下列命題正確的是（ ）
A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行
B、若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行
C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行
D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行
7、設 、 都是非零向量，下列四個條件中，使 成立的充分條件是（ ）
A、 B、 C、 D、 且
8、已知拋物線關于 軸對稱，它的頂點在坐標原點 ，并且經過點 。若點 到該拋物線焦點的距離為 ，則 （ ）
A、 B、 C、 D、
9、某公司生產甲、乙兩種桶裝產品。已知生產甲產品1桶需耗 原料1千克、 原料2千克；生產乙產品1桶需耗 原料2千克， 原料1千克。每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元。公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗 、 原料都不超過12千克。通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
10、如圖，半徑為 的半球 的底面圓 在平面 內，過點 作平面 的垂線交半球面于點 ，過圓 的直徑 作平面 成 角的平面與半球面相交，所得交線上到平面 的距離最大的點為 ，該交線上的一點 滿足 ，則 、 兩點間的球面距離為（ ）
A、 B、 C、 D、
11、方程 中的 ，且 互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ）
A、60條 B、62條 C、71條 D、80條
12、設函數(shù) ， 是公差為 的等差數(shù)列， ，則 （ ）
A、 B、 C、 D、
第二部分 （非選擇題 共90分）
注意事項：
（1）必須使用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚。答在試題卷上無效。
（2）本部分共10個小題，共90分。
二、題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題紙的相應位置上。）
13、設全集 ，集合 ， ，則 ___________。
14、如圖，在正方體 中， 、 分別是 、 的中點，則異面直線 與 所成角的大小是____________。
15、橢圓 的左焦點為 ，直線 與橢圓相交于點 、 ，當 的周長最大時， 的面積是____________。
16、記 為不超過實數(shù) 的最大整數(shù)，例如， ， ， 。設 為正整數(shù)，數(shù)列 滿足 ， ，現(xiàn)有下列命題：
①當 時，數(shù)列 的前3項依次為5,3,2；
②對數(shù)列 都存在正整數(shù) ，當 時總有 ；
③當 時， ；
④對某個正整數(shù) ，若 ，則 。
其中的真命題有____________。（寫出所有真命題的編號）
三、解答題（本大題共6個小題，共74分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。）
17、(本小題滿分12分)
某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)） 和 ，系統(tǒng) 和 在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為 和 。
（Ⅰ）若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為 ，求 的值；
（Ⅱ）設系統(tǒng) 在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量 ，求 的概率分布列及數(shù)學期望 。
18、(本小題滿分12分)
函數(shù) 在一個周期內的圖象如圖所示， 為圖象的最高點， 、 為圖象與 軸的交點，且 為正三角形。
（Ⅰ）求 的值及函數(shù) 的值域；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 的值。
19、(本小題滿分12分)
如圖，在三棱錐 中， ， ， ，平面 平面 。
（Ⅰ）求直線 與平面 所成角的大�。�
（Ⅱ）求二面角 的大小。
20、(本小題滿分12分) 已知數(shù)列 的前 項和為 ，且 對一切正整數(shù) 都成立。
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）設 ，數(shù)列 的前 項和為 ，當 為何值時， 最大？并求出 的最大值。
21、(本小題滿分12分)
如圖，動點 到兩定點 、 構成 ，且 ，設動點 的軌跡為 。
（Ⅰ）求軌跡 的方程；
（Ⅱ）設直線 與 軸交于點 ，與軌跡 相交于點 ，且 ，求 的取值范圍。
22、(本小題滿分14分)
已知 為正實數(shù)， 為自然數(shù)，拋物線 與 軸正半軸相交于點 ，設 為該拋物線在點 處的切線在 軸上的截距。
（Ⅰ）用 和 表示 ；
（Ⅱ）求對所有 都有 成立的 的最小值；
（Ⅲ）當 時，比較 與 的大小，并說明理由。


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