2013年高考數(shù)學總復習 8-1 直線的方程與兩條直線的位置關系但因為測試 新人教B版
1.(2011•北京海淀模擬)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，－1)，則直線l的斜率為(　　)
A. 13　　　　B．－13
C．－32 D. 23
[答案]　B
[解析]　設P(x,1)，Q(7，y)，
∵PQ的中點為(1，－1)，
∴x＋72＝1y＋12＝－1，∴x＝－5，y＝－3，∴P(－5,1)，Q(7，－3)，
∴直線l的斜率kPQ＝－3－17－－5＝－13.
2．()(2011•湛江市調研)如果直線ax＋3y＋1＝0與直線2x＋2y－3＝0互相垂直，那么a的值等于(　　)
A．3 B．－13
C．－3 D.13
[答案]　C
[解析]　由兩直線垂直可得2a＋3×2＝0，所以a＝－3，故選C.
(理)(2011•梅州模擬)已知直線a2x＋y＋2＝0與直線bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，則ab的最小值為(　　)
A．5　　　　B．4　　　　
C．2　　　　D．1
[答案]　C
[解析]　由題意知，a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，
∴a2b＝a2＋1，∴ab＝a2＋1a＝a＋1a，
∴ab＝a＋1a＝a＋1a≥2.(當且僅當a＝±1時取“＝”)．
3．()(2011•遼寧沈陽二中檢測)“a＝2”是“直線2x＋ay－1＝0與直線ax＋2y－2＝0平行”的(　　)
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分 條件 D．既不充分也不必要條件
[答案]　B
[解析]　兩直線平行的充要條件是2a＝a2≠－1－2，即兩直線平行的充要條件是a＝±2.故a＝2是直線2x＋ay－1＝0與直線ax＋2y－2＝0平行的充分不必要條件．
[點評]　如果適合p的集合是A，適合q的集合是B，若A是B的真子集，則p是q的充分不必要條件，若A＝B，則p，q互為充要條件，若B是A的真子集，則p是q的必要不充分條件．
(理)(2011•東營模擬)已知兩條直線l1：ax＋by＋c＝0，直線l2：x＋ny＋p＝0，則an＝b是直線l1∥l2的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不 必要條件
[答案]　B
[解析]　l1∥l2時，an－b＝0，an－b＝0時⇒/ l1∥l2，故an＝b是直線l1∥l2的必要不充分條件．
4．()(2011•煙臺模擬)點P(－3,4)關于直線x＋y－2＝0的對稱點Q的坐標是(　　)
A．(－2,1) B．(－2,5)
C．(2，－5) D．(4，－3)
[答案]　B
[解析]　x＝2－4＝－2，y＝2－(－3)＝5，故選B.
(理)(2011•皖南八校第三次聯(lián)考)直線2x－y＋1＝0關于直線x＝1對稱的直線方程是(　　)
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝0
[答案]　C
[解析]　由題意可知，直線2x－y＋1＝0與直線x＝1的交點為(1,3)，直線2x－y＋1＝0的傾斜角與所求直線的傾斜角互補，因此它們的斜率互為相反數(shù)，直線2x－y＋1＝0的斜率為2，故所求直線的斜率為－2，所以所求直線方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0，選C.
[點評]　可由點的對稱特征及特值法求解．設所求直線上任一點P(x，y)，P關于x＝1對稱的點P1(2－x，y)在直線2x－y＋1＝0上，∴2(2－x)－ y＋1＝0，∴2x＋y－5＝0.
5．已知兩直線的方程分別為l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它們在坐標系中的位置如下圖所示，那么(　　)

A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>c
C．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<c
[答案]　C
[解析]　由題意知l1：y＝－1ax－ba，
－1a>0，－ba<0，，∴a<0，b<0.
l2：y＝－1cx－dc，由上圖知－1c>0，－dc>0，∴c<0，d>0.
由x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，得(a－c)y＝d－b，交點在第一象限，所以y＝d－ba－c>0，因為d－b>0，所以a>c，故選C.
[點評]　由直線的位置提供直線的斜率、在y軸上的截距和兩直線交點的信息，將這些信息用數(shù)學表達式表達出即可解決問題．
6．(2011•安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)高三聯(lián)考)若過點P(2,1)的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，則這樣的直線共有(　　)
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
[答案]　C
[解析]　設過點P(2,1)的直線方程為xa＋yb＝1，
則2a＋1b＝1，即2b＋a＝ab，
又S＝12ab＝4，即ab＝8，
由2b＋a＝ab，ab＝8，解得a、b有三組解
a＝4b＝2，a＝－4－42b＝－2＋22或a＝42－4b＝－2－22.
所以所求直線共有3條，故選C.
7．(2011•寧夏銀川一中月考)直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是________．
[答案]�。�2或1
[解析]　令x＝0得y＝2＋a，令y＝0得x＝a＋2a，
由條件知2＋a＝a＋2a，∴a＝－2或1.
8．()設點A(1,0)，B(－1,0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍 是________．
[答案]　[－2,2]
[解析]　當直線過A點時，b＝2，當直線過B點時，b＝－2，∴－2≤b≤ 2.
(理)若直線被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為22，則的傾斜角可以是
①15°�、�30°　③45°�、�60°　⑤75°
其中正確答案的序號為________．(寫出所有正確答案的序號)
[答案]�、佗�
[解析]　求得兩平行線間的距離為2，則與兩平行線的夾角都是30°，而兩平行線的傾斜角為45°，則的傾斜角為75°或15°，故填①⑤.
9．(2011•大連模擬)已知點A(1，－2)，B(,2)，且線段AB的垂直平分線的方程是x＋2y－2＝0，則實數(shù)的值是________．
[答案]　3
[解析]　由已知條件可知線段AB的中點1＋2，0在直線x＋2y－2＝0上，代入直線方程解得＝3.
[點評]　還可利用kAB⊥kl求解，或AB→為l的法向量，則AB→∥a，a＝(1,2)，或先求AB中點縱坐標y0，利用AB的中點在直線上求出其橫坐標x0再求.
10．已知兩直線l1：x＋8y＋n＝0和l2：2x＋y－1＝0.試確定、n的值，使
(1)l1與l2相交于點P(，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.
[解析]　(1)由題意得2－8＋n＝02－－1＝0，
解得n＝7＝1，
∴當＝1，n＝7時，l1與l2相交于點P(1，－1)．
(2)l1∥l2⇔2＝8≠n－1，
得：＝4，n≠－2，或＝－4，n≠2.
(3)l1⊥l2⇔×2＋8×＝0，
∴＝0，則l1：8y＋n＝0.
又l1在y軸上的截距為－1，
則n＝8.
[點評]　討論l 1∥l2時要排除兩直線重合的情況．處理l1⊥l2時，利用l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0可避免對斜率存在是否的討論.

11.()(2011•西安八校聯(lián)考)已知直線l的傾斜角為3π4，直線l1經過點A(3,2)，B(a，－1)，且直線l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b等于(　　)
A．－4 B．－2
C．0 D．2
[答案]　B
[解析]　依題意知，直線l的斜率為k＝tan3π4＝－1，則直線l1的斜率為1，于是有2＋13－a＝1，∴a＝0，
又直線l2與l1平行，∴1＝－2b，∴b＝－2，
∴a＋b＝－2，選B.
(理)直線l1：3x－y＋1＝0，直線l2過點(1,0)，且l2的傾斜角是l1的傾斜角的2倍，則直線l2的方程為(　　)
A．y＝6x＋1 B．y＝6(x－1)
C．y＝34(x－1) D．y＝－34(x－1)
[答案]　D
[解析]　設直線l1的傾斜角為α，則由tanα＝3可求出直線l2 的斜率k＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34，再由l2過點(1,0)可得直線方程為y＝－34(x－1)，故選D.
[點評]　由l2過點(1,0)排除A，由l1的斜率k1＝3>1知，其傾斜角大于45°，從而直線l2的傾斜角大于90°，斜率為負值，排除B、C，選D.
12．(2011•廣州二測)一條光線沿直線2x－y＋2＝0入射到直線x＋y－5＝0后反射，則反射光線所在的直線方程為(　　)
A．2x＋y－6＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0 D．x＋2y－9＝0
[答案]　B
[解析]　取直線2x－y＋ 2＝0上一點A(0,2)，設點A(0,2)關于直線x＋y－5＝0對稱的點為B(a，b)，
則a2＋b＋22－5＝0b－2a＝1，解得a＝3b＝5，∴B(3,5)．
由2x－y＋2＝0x＋y－5＝0，解得x＝1y＝4，∴直線2x－y＋2＝0與直線x＋y－5＝0的交點為P(1,4)，∴反射光線在經過點B(3,5)和點P(1,4)的直線上，其直線方程為y－4＝4－51－3(x－1)，整理得x－2y＋7＝0，故選B.
13．()若三直線l：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋12＝0能圍成三角形，則k不等于(　　)
A.32 B．－2
C.32和－1 D.32、－1和－12
[答案]　D
[解析]　由x－y－1＝02x＋3y＋8＝0得交點P(－1，－2)，
若P在直線x＋ky＋k＋12＝0上，則k＝－12.
此時三條直線交于一點；
k＝32時，直線l1與l3平行．
k＝－1時，直線l2與l3平行，
綜上知，要使三條直線能圍成三角形，應有k≠－12，32和－1.
(理)(2011•北京，8)已知點A(0,2 )，B(2,0)．若點C在函數(shù)y＝x2的圖象上，則使得△ABC的面積為2的點C的個數(shù)為(　　)
A．4　　　　B．3　　　　
C．2　　　　D．1
[答案]　A
[解析]　因 為AB＝22，要使三角形面積是2，則C點到直線AB的距離為2.直線AB的方程為x＋y－2＝0，設C點所在的直線方程為x＋y＋＝0，所以d＝＋22＝2，解得＝0或＝－4，所以C點的軌跡為x＋y＝0，或x＋y－4＝0.又因為點C在函數(shù)y＝x2的圖象上，x＋y＝0，和x＋y－4＝0與y＝x2分別有兩個交點．故這樣的點共有4個．
[點評]　可利用點到直線距離公式，轉化為方程解的個數(shù)的判定．
14．()已知兩條直線l1：(3＋)x＋4y＝5－3，l2：2x＋(5＋)y＝8.當分別為何值時，l1與l2：
(1)相交？
(2)平行？
(3)垂直？
[解析]　(1)當＝－5時，顯然l1與l2相交；當≠－5時，兩直線l1和l2的斜率分別為k1＝－3＋4，k2＝－25＋，
它們在y軸上的截距分別為 b1＝5－34，b2＝85＋.
由k1≠k2，得－3＋4≠－25＋，即≠－7，且≠－1.
∴當≠－7，且≠－1時，l1與l2相交．
(2)由k1＝k2，b1≠b2，得－3＋4＝－25＋，5－34≠85＋，
得＝－7.
∴當＝－7時，l1與l2平行．
(3)由k1k2＝－1，得－3＋4•(－25＋)＝－1，
＝－133.
∴當＝－133時，l1與l2垂直．
(理)(2011•青島模擬)已知三點A(5，－1)、B(1,1)、C(2，)，分別求滿足下列條件的值．
(1)三點構成直角三角形ABC；
(2)A、B、C三點共線．
[解析]　(1)若角A為直角，則A C⊥AB，
∴kAC•kAB＝－1，
即＋12－5•1＋11－5＝－1，得＝－7；
若角B為直角，則AB⊥BC，
∴kAB•kBC＝－1，
即－12•－12－1＝－1，得＝3；
若角C為直角，則AC⊥BC，
∴kAC•kBC＝－1，
即＋1－3•－12－1＝－1，得＝±2，
綜上可知，＝－7，或＝3，或＝±2.
(2)方法一：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，)，
∴kAB＝－1－15－1＝－12，
kAC＝－1－5－2＝－1＋3，
由kAB＝kAC，得－12＝－1＋3，
即＝12.
∴當＝12時，三點A、B、C共線．
方法二：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，)，
∴AB→＝(－4,2)，AC→＝(－3，＋1)，
由AB→＝λAC→，得－4＝－3λ2＝λ＋1，
得λ＝43，＝12，
∴當＝12時，三點A、B、C共線．
方法三：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，)，
∴AB＝25，BC＝2－2＋2，
AC＝2＋2＋10.
由三點橫坐標可知，BC＋AC＝AB，
即2－2＋2＋2＋2＋10＝25，
2＋2＋10＝－2－2＋2＋25，兩邊平方，得5•2－2＋2＝3－，兩邊平方，得42－4＋1＝0，
∴＝12，經驗證＝12符合題意，
故＝12時，三點A、B、C共線．
方法四：點A(5，－1)與B(1,1)確定的直線方程為x＋2y－3＝0，將C(2，)的坐標代入得＝12，
故＝12時，三點A、B、C共線．
15．()(2011•西安模擬)設直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程．
(2)若l不經過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍．
[解析]　(1)令x＝0，得y＝a－2.
令y＝0，得x＝a－2a＋1(a≠－1)．
由a－2＝a－2a＋1，解得a＝2，或a＝0.
∴所求直線l的方程為3x＋y＝0，或x＋y＋2＝0.
(2)直線l的方程可化為y＝－(a＋1)x＋a－2.
∵l不過第二象限，∴－a＋1≥0，a－2≤0.
∴a≤－1.
∴a的取值范圍為(－∞，－1]．
(理)過點A(3，－1)作直線l交x軸于點B，交直線l1：y＝2x于點C，若BC＝2AB，求直線l的方程．
[解析]　當k不存在時B(3,0)，C(3,6)．
此時BC＝6，AB＝1， BC≠2AB，

∴直線l的斜率存在，
∴設直線l的方程為：y＋1＝k(x－3)
令y＝0得B(3＋1k，0)
由y＝2xy＋1＝kx－3得C點橫坐標xc＝1＋3kk－2
若BC＝2AB則xB－xC＝2xA－xB
∴1＋3kk－2－1k－3＝21k
∴1＋3kk－2－1k－3＝2k或1＋3kk－2－1k－3＝－2k
解得k＝－32或k＝14
∴所求直線l的方程為：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.

1．函數(shù)y＝asinx－bcosx的圖象的一條對稱軸方程為x＝π4，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
[答案]　D
[分析]　由函數(shù)的對稱軸方程可以得到a、b的關系式，進而可求得直線ax－by＋c＝0的斜率k，再由k＝tanα可求傾斜角α.
[解析]　令f(x)＝asinx－bcosx，
∵f(x)的一條對稱軸為x＝π4，
∴f(0)＝fπ2，即－b＝a，∴ab＝－1.
∴直線ax－by＋c＝0的斜率為－1，傾斜角為135°.
2．若三直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＋k＋12＝0相交于一點，則k的值為(　　)
A．－2 　 　B．－12 　 　
C．2 　 　D. 12
[答案]　B
[解析]　由x－y－1＝02x＋3y＋8＝0得交點P(－1，－2)，
P在直線x＋ky＋k＋12＝0上，
∴k＝－12.
3．曲線y＝kx及y＝x＋k(k>0)能圍成三角形，則k的取值范圍是(　　)
A．0<k<1 B．0<k≤1
C．k>1 D． k≥1
[答案]　C
[解析]　數(shù)形結合法．在同一坐標系中作出兩函數(shù)的圖象，可見k≤1時圍不成三角形，k>1時能圍成三角形．
4．(2011•東青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，當x<0時，f(x)>1，方程y＝ax＋1a表示的直線是(　　)

[答案]　C
[解析]　∵x<0時，ax>1，∴0<a<1.
則直線y＝ax＋1a的斜率0<a<1，
在y軸上的截距1a>1.故選C.
5．設a、b、c分別是△ABC中角A、B、C所對邊的邊長，則直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的位置關系是(　　)
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
[答案]　C
[解析]　由已知得a≠0，sinB≠0，所以兩直線的斜率分別為k1＝－sinAa，k2＝bsinB，由正弦定理得：k1•k2＝－sinAa•bsinB＝－1，所以兩條直線垂直，故選C.
6．(2011•深圳二月模擬)設l1的傾斜角為α，α∈(0，π2)，l1繞其上一點P沿逆時針方向旋轉α角得直線l2，l2的縱截距為－2，l2繞P沿逆時針方向旋轉π2－α角得直線l3：x＋2y－1＝0，則l1的方程為___ _____．
[答案]　2x－y＋8＝0
[解析]　由條件知l1⊥l3，∴kl1＝2，∴tanα＝2，
又l2的傾斜角為2α，tan2α＝－43，
∴l(xiāng)2：y＝－43x－2，
由y＝－43x－2，x＋2y－1＝0，得P(－3,2)，
又P在l1上，∴l(xiāng)1：2x－y＋8＝0.
7．(2011•蘇北四市二調)已知直線l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，則l1⊥l2的充要條件是a＝____________.
[答案]　13
[解析]　兩條直線垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0，對于本題而言就是2a＋(a－1)＝0，解得a＝13.



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