2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽四川初賽試題一、單項(xiàng)選擇題(本大題共6個(gè)小題,每小題5分,共30分)1、設(shè)集合 , ,則 =( ) A、 B、 C、 D 、 2、正方體 中 與截面 所成的角是( ) A、 B、 C、 D、 3、已知 , ,則“ ”是“ 在 上恒成立”的( )A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件 4、設(shè)正三角形 的面積為 ,作 的內(nèi)切圓,再作內(nèi)切圓的內(nèi)接正三角形,設(shè)為 ,面積為 ,如此下去作一系列的正三角形 ,其面積相應(yīng)為 ,設(shè) , ,則 =( )A 、 B 、 C、 D 、25、設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)為 ,頂點(diǎn)為 , 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則 的最大值為( )A 、 B 、 C、 D 、 6、設(shè)倒圓錐形容器的軸截面為一個(gè)等邊三角形,在此容器內(nèi)注入水,并放入半徑為 的一個(gè)實(shí)心球,此時(shí)球與容器壁及水面恰好都相切,則取出球后水面高為( )A、 B、 C、 D、 二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題5分,共30分)7、如圖,正方形 的邊長(zhǎng)為3, 為 的中點(diǎn), 與 相交于 ,則 的值是 8、 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是 .(用具體數(shù)字作答)9、設(shè)等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,滿足 ,則 的值為 .10、不超過(guò)2012的只有三個(gè)正因數(shù)的正整數(shù)個(gè)數(shù)為 .11、已知銳角 滿足 ,則 的最大值是 .12、從1,2,3,4,5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中,任取一個(gè)五位數(shù) ,滿足條件“ ”的概率是 .
三、解答題(本大題共4個(gè)小題,每小題20分,共80分)13、設(shè)函數(shù) ,(I)求函數(shù) 在 上的最大值與最小值;(II)若實(shí)數(shù) 使得 對(duì)任意 恒成立,求 的值.
14、已知 ,滿足 ,(I)求 的最小值;(II)當(dāng) 取最小值時(shí),求 的最大值.
15、直線 與雙曲線 的左支交于 、 兩點(diǎn),直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 和 的中點(diǎn),求直線 在 軸的截距 的取值范圍.
16、設(shè)函數(shù) 在 上的最大值為 ( ).(I)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;(II)求證:對(duì)任何正整數(shù) ,都有 成立;(III)設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,求證:對(duì)任意正整數(shù) ,都有 成立.
參考解答一、選擇題(本大題共6個(gè)小題,每小題5分,共30分)1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D 二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題5分,共30分) 7、 8、 9、0 10、14 11、 12、 三、解答題(本大題共4個(gè)小題,每小題20分,共80分)13、解:(I)由條件知 , (5分)由 知, ,于是 所以 時(shí), 有最小值 ;當(dāng) 時(shí), 有最大值 . (10分)(II)由條件可知對(duì)任意的 恒成立,∴ ∴ ∴ , (15分)由 知 或 。若 時(shí),則由 知 ,這與 矛盾!若 ,則 (舍去), ,解得 ,所以, . (20分)14、解:(I)因?yàn)?(5分) ,等號(hào)成立的條件是 ,當(dāng) 時(shí), 可取最小值2. (10分)(II)當(dāng) 取最小值時(shí), ,從而 ,即 ,令 ,則 (15分)從而 或者 (舍去)故 在 單減,所以在 時(shí), 有最大值 . (20分)
15、解:將直線 與雙曲線 方程聯(lián)立得 化簡(jiǎn)得 ① 。5分)由題設(shè)知方程①有兩負(fù)根,因此 ,解得 .(10分)設(shè) ,則有 ,故 的中點(diǎn)為 ,所以直線 方程為 ,其在 軸的截距 ,(15分)當(dāng) 時(shí), ,其取值范圍是 所以 的取值范圍是 . (20分)
右腦記憶論壇 | 快速記憶法 | 記憶力培訓(xùn) | 速讀培訓(xùn) | 速讀軟件
Copyright(C) 2006-2014 逍遙右腦 All Rights Reserved