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2013年廣州市高考備考沖刺階段數(shù)學學科訓練材料
（理科）
說明：
⒈ 本訓練題由廣州市中學數(shù)學研究會高三中心組與廣州市高考數(shù)學研究組共同編寫，共24題．
⒉ 本訓練題僅供本市高三學生考前沖刺訓練用，希望在5月31日之前完成．
3．本訓練題與市高三質量抽測、一模、二模等數(shù)學試題在內容上相互配套，互為補充．四套試題覆蓋了高中數(shù)學的主要知識和方法．因此，希望同學們在5月31日至6月6日之間，安排一段時間，對這四套試題進行一次全面的回顧總結，同時，將高中數(shù)學課本中的基本知識（如概念、定理、公式等）再復習一遍．x
希望同學們保持良好的心態(tài)，在高考中穩(wěn)定發(fā)揮，考取理想的成績！
1.已知函數(shù) ， 的最大值是1，其圖像經(jīng)過點
．
（1）求 的解析式；
（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
2. 設函數(shù) .
（1）若 是函數(shù) 的一個零點，求 的值；
（2）若 是函數(shù) 的一個極值點，求 的值.
3. 在 中，內角 所對的邊長分別是 , 已知 ， .
（1）求 的值；
（2）若 為 的中點，求 的長.
4. 一緝私艇發(fā)現(xiàn)在方位角（從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角）45°方向，距離15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小時的速度沿方位角為105°的方向逃竄．若緝私艇的速度為35 海里/小時，緝私艇沿方位角為45°+α的方向追去，若要在最短時間內追上該走私船．
（1）求角α的正弦值；
（2）求緝私艇追上走私船所需的時間．
5. 某網(wǎng)站用“10分制”調查一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：
（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸�！�.求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸�！钡母怕�；
（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記 表示抽到“極幸�！钡娜藬�(shù)，求 的分布列及數(shù)學期望．
6.汽車是碳排放量比較大的行業(yè)之一．歐盟規(guī)定，從2014年開始，將對 排放量超過
的 型新車進行懲罰．某檢測單位對甲、乙兩類 型品牌車各抽取 輛進行
排放量檢測，記錄如下(單位： ).
甲80110120140150
乙100120
160
經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙品牌車 排放量的平均值為 ．
（1）從被檢測的5輛甲類品牌車中任取2輛，則至少有一輛不符合 排放量的概率是多少？
（2）若 ，試比較甲、乙兩類品牌車 排放量的穩(wěn)定性．
7．隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為 ．
（1）求 的分布列；
（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即 的數(shù)學期望）；
（3）經(jīng)技術革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為 ，一等品率提高為 ．如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？
8．如圖，在四棱錐 中，底面為直角梯形， 底
面 ， ， 分別為 的中點．
（1）求證： ；
（2）求 與平面 所成的角的正弦值．
9．一個三棱錐 的三視圖、直觀圖如圖．
（1）求三棱錐 的體積；
（2）求點C到平面SAB的距離；
10．如圖， 為圓 的直徑，點 、 在圓 上， ，矩形 所在的平面
和圓 所在的平面互相垂直，且 ， ．
（1）求證： 平面 ；
（2）設 的中點為 ，求證： 平面 ；
（3）設平面 將幾何體 分成的兩個錐體
的體積分別為 ， ，求 ．
11.已知等比數(shù)列 的公比 ， ，且 、 、 成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）設 ，求數(shù)列 的前 項和 .
12.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度 （單位：千米/小時）是車流密度 （單位：輛/千米）的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0 ；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當 時，車流速度 是車流密度 的一次函數(shù)．
(1)當 時，求函數(shù) 的表達式；
(2)當車流密度 為多大時，車流量 可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）. (車流量為單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時） ，
第一年植樹100畝，以后每年比上一年多植樹50畝．
（1）若所植樹全部成活，則到哪一年可以將荒山全部綠化？
（2）若每畝所植樹苗木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率
為20％，那么到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量是多少？
（精確到１立方米, ）
14. 已知拋物線 與雙曲線 有公共焦點 ，點
是曲線 在第一象限的交點，且 ．
（1）求雙曲線 的方程；
（2）以雙曲線 的另一焦點 為圓心的圓 與直線 相切，圓 ：
．過點 作互相垂直且分別與圓 、圓 相交的直線 和 ，設 被圓 截得的弦長為 ， 被圓 截得的弦長為 ． 是否為定值？請說明理由．
15. 如圖，長為m＋1（m＞0）的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，點M是線段AB上一點，且→AM＝m→MB．
（1）求點M的軌跡Γ的方程，并判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線；
（2）設過點Q(12，0)且斜率不為0的直線交軌跡Γ于C、D兩點．
試問在x軸上是否存在定點P，使PQ平分∠CPD？若存在，求點P的坐標；
若不存在，請說明理由．
16.已知數(shù)列 的前 項和的平均數(shù)為
（1）求 的通項公式；
（2）設 ，試判斷并說明 的符號；
（3）設函數(shù) ，是否存在最大的實數(shù) ? 當 時，對于一切非零自然數(shù) ，都有
17. 數(shù)列 滿足 ，且 時， ，
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）設數(shù)列 的前 項和為 ，求證對任意的正整數(shù) 都有
（1）當 時，求函數(shù) 的值域；
（2）試討論函數(shù) 的單調性．
19.已知函數(shù) 的圖像在點 處的切線方程為 .
（1）用 表示出 ；
（2）若 在 上恒成立，求 的取值范圍；
（3）證明： .
20.如圖,已知直線 及曲線 上的點 的橫坐標為 ( ).從曲線 上的點 作直線平行于 軸，交直線 作直線平行于 軸，交曲線 的橫坐標構成數(shù)列 .
(1)試求 的關系;
(2)若曲線 的平行于直線 的切線的切點恰好介于點 之間
(不與 重合),求 的取值范圍;
(3)若 ,求數(shù)列 的通項公式.
21. 已知函數(shù) 的導函數(shù)是 , 對任意兩個不相等
的正數(shù) , 證明: (1)當 時, ;
(2)當 時, .
22. 對于函數(shù) ，若存在 ∈R，使 成立，則稱 為 的不動點．
如果函數(shù) ＝ 有且僅有兩個不動點0和2．
（1）試求b、c滿足的關系式；
（2）若c＝2時，各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn? ＝1，
求證： ＜ ＜ ；
（3）在(2)的條件下, 設bn＝－ ， 為數(shù)列{bn}的前n項和，
求證： ．
23.已知定義在 上的單調函數(shù) ，存在實數(shù) ，使得對于任意實數(shù) ，總有 恒成立．
（1）求 的值；
（2）若 ，且對任意正整數(shù) ，有 ，
記 ，比較 與 的大小關系，并給出證明．
24. 已知函數(shù) ，設 在點 N*）處的切線在 軸上的截距為 ，數(shù)列 滿足： N*）．
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）在數(shù)列 中，僅當 時， 取最小值，求 的取值范圍；
（3）令函數(shù) ，數(shù)列 滿足： ， N*），
求證：對于一切 的正整數(shù)，都滿足： ．
2013年廣州市高考備考沖刺階段數(shù)學學科(理科)訓練材料參考答案
1.解：（1）依題意有 ，則 ，將點 代入得 ，
而 ， ， ，故 .
（2）依題意有 ，而 ，
，
.
2. 解：（1） 是函數(shù) 的一個零點, ∴ , 從而 .
∴
（2） , 是函數(shù) 的一個極值點
∴ , 從而 .
∴ .
3. 解：（1） 且 ，∴ ．
∴
．
（2）由（1）可得 ．
由正弦定理得 ，即 ，解得 ．
在 中， ， ，∴ ．
4. 解：（1）設緝私艇追上走私船所需的時間為t小時，
則有BC＝25t，AB＝35t，
且∠CAB＝α，∠ACB＝120°，
根據(jù)正弦定理得： ，
即 ， ∴ sinα＝ ．
（2）在△ABC中由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB，
即 （35t）2＝152＋（25t）2－2?15?25t?cos120°，即24t2?15t?9＝0，
解之得：t=1或t=－ （舍）
故緝私艇追上走私船需要1個小時的時間．
5.解：（1）眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75
（2）設 表示所取3人中有 個人是“極幸�！保�至多有1人是“極幸�！庇洖槭录� ，則
（3） 的可能取值為0、1、2、3.
；
；
高考資源網(wǎng)
所以 .
另解： 的可能取值為0、1、2、3.高..考.資., 則 ， .
的分布列為
所以 = .
6. 解：（1）從被檢測的 輛甲類品牌車中任取 輛，共有 種不同的 排放量結果：
( )；( )；( )；( )；( )；
( )；( )；( )；( )；( ).
設“至少有一輛不符合 排放量”為事件 ，則事件 包含以下 種不同的結果：
( )；( )；( )；( )；( )；( )；( ).
所以， . 答：至少有一輛不符合 排放量的概率為
（2）由題可知， ， .
， ，∴乙類品牌車碳排放量的穩(wěn)定性好.
7．解（1） 的所有可能取值有6，2，1，-2； ，
，
故 的分布列為：
621-2
0.630.250.10.02
（2）
（3）設技術革新后的三等品率為 ，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為
依題意， ，即 ，解得 所以三等品率最多為 .
8．（1）解法1：∵ 是 的中點， ，∴ ．
∵ 平面 ，所以 ．
又 ， ，∴ ， ．
又 ，∴ 平面 ．
∵ 平面 ，∴ ．
解法2：如圖，以 為坐標原點建立空間直角坐標系 ，設 ，
可得， ．
因為 ，所以 ．
（2）因為 ．
所以 ，又 ，所以 平面 ，
因此 的余角即是 與平面 所成的角．
因為 ．
所以 與平面 所成的角的正弦值為 ．
9. 解： （1）由正視圖、俯視圖知 ；
由正視圖、側視圖知，點B在平面SAC上的正投影為AC的中點D，則 ，
平面 ， ；
由俯視圖、側視圖知，點S在平面ABC上的正投影為DC的中點O，
則 ， 平面 ， ．如圖．
（1）三棱錐 的體積 ．
解法一：
以O為原點，OA為 軸，過O且平行于BD的直線為 軸，OS為 軸，建立如圖空間直角坐標系，可求 ， ，
設 是平面SAB的一個法向量，則
，取 ，
（2）可知 ，設點C到平面SAB的距離為 ，
則 ．
（3）可知 是平面ABC一個法向量，故 ，
二面角 的余弦值為 ．
解法二：
（2）可求 ， ，
，
△SAB的面積 ，
設點C到平面SAB的距離為 ，
由三棱錐 的體積 ，
得 ．
（3）作 于H，作 交AB于E，則 ，
連接SE，因OE是SE在底面ABC內的射影，而 ，故 ，
為二面角 的平面角．
△ABC中，易求 ，
由△ABC的面積， ， ，
△AEO與△AHC相似，相似比為AO：AC=3：4，故 ，
中， ，
故 ，二面角 的余弦值為 ．
10.（1）證明： 平面 平面 , ,
平面 平面 = ，
平面 ，
平面 ， ，
為圓 的直徑， ， 平面 ．
（2）設 的中點為 ，則 ，又 ，
則 ， 為平行四邊形，
，又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（3）過點 作 于 ， 平面 平面 ，
平面 ， ，
平面 ，
，
．
11.解：（1）因為 、 、 成等差數(shù)列，
所以 ，即 .
因為 ， ，所以 ，即 .
因為 ，所以 .所以 .
所以數(shù)列 的通項公式為 .
（2）因為 ，所以 .
所以
當 時，
；
當 時，
.
綜上所述，
12. 解:(1)由題意，當 時， 當 時，設
由已知得 解得 . .
(2)依題意得
當 時， 為增函數(shù)，故 .
當 時， 時， 取最大值 .
答：車流密度 為100時，車流量 達到最大值3333.
13.解：（1）設植樹 年后可將荒山全部綠化，記第 年初植樹量為 ，
依題意知數(shù)列 是首項 ，公差 的等差數(shù)列，
則 , 即
∵ ∴
∴到2009年初植樹后可以將荒山全部綠化．
（2）2002年初木材量為 ，到2009年底木材量增加為 ,
2003年初木材量為 ，到2009年底木材量增加為 ,……
2009年初木材量為 ，到2009年底木材量增加為 .
則到2009年底木材總量
----------①
---------②
②-①得
∴ ｍ2
答：到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為9060ｍ2
14. 解：（1）∵拋物線 的焦點為 ，
∴雙曲線 的焦點為 、 ，
設 在拋物線 上，且 ，
由拋物線的定義得， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，又∵點 在雙曲線 上，由雙曲線定義得，
，∴ ， ∴雙曲線 的方程為： ．
（2） 為定值．下面給出說明．
設圓 的方程為： ， ∵圓 與直線 相切，
∴圓 的半徑為 ，故圓 ： .
顯然當直線 的斜率不存在時不符合題意，
設 的方程為 ，即 ，
設 的方程為 ，即 ，
∴點 到直線 的距離為 ，點 到直線 的距離為 ，
∴直線 被圓 截得的弦長 ，
直線 被圓 截得的弦長 ，
∴ ， 故 為定值 ．
15. 解：（1）設A、B、M的坐標分別為(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，則
x20＋y20＝(m＋1)2， ①
由→AM＝m→MB，得(x－x0，y)＝m(－x，y0－y)，
∴x－x0＝－mx，y＝m(y0－y)．∴x0＝(m＋1)x，y0＝m＋1my． ②
將②代入①，得
(m＋1)2x2＋(m＋1m)2y2＝(m＋1)2，
化簡即得點M的軌跡Γ的方程為x2＋y2m2＝1（m＞0）．
當0＜m＜1時，軌跡Γ是焦點在x軸上的橢圓；
當m＝1時，軌跡Γ是以原點為圓心，半徑為1的圓；
當m＞1時，軌跡Γ是焦點在y軸上的橢圓．
（2）依題意，設直線CD的方程為x＝ty＋12，
由x＝ty＋12，x2＋y2m2＝1．消去x并化簡整理，得(m2t2＋1)y2＋m2ty－34m2＝0，
△＝m4t2＋3m2(m2t2＋1)＞0，
設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則
y1＋y2＝－m2tm2t2＋1，y1y2＝－3m24(m2t2＋1)． ③
假設在x軸上存在定點P(a，0)，使PQ平分∠CPD，
則直線PC、PD的傾斜角互補，
∴kPC＋kPD＝0，即y1x1－a＋y2x2－a＝0，
∵x1＝ty1＋12，x2＝ty2＋12，∴y1ty1＋12－a＋y2ty2＋12－a＝0，
化簡，得4ty1y2＋(1－2a)( y1＋y2)＝0． ④
將③代入④，得－3m2tm2t2＋1－m2t(1－2a)m2t2＋1＝0，即－2m2t(2－a)＝0，
∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式對?t∈R都成立，∴a＝2．
故在x軸上存在定點P(2，0)，使PQ平分∠CPD．
16.解：（1）由題意， ，兩式相減得 ，而 ，
（2） ，
(3)由（2）知 是數(shù)列 的最小項.
當 時，對于一切非零自然數(shù) ，都有 ,
即 ，即 ，
解得 或 ， 取 .
17. 解：（1） ，則 則
（2） 由于 ，因此，
又
所以從第二項開始放縮：
因此
18.解:（1） ，
當 時， ，即 時， 最小值為2．
當 時， ，在 上單調遞增，所以 ．
所以 時， 的值域為 ．
（2）依題意得
①若 ，當 時， ， 遞減，當 時， ， 遞增．
②若 ，當 時，令 ，解得 ，
當 時， ， 遞減，當 時， ， 遞增．
當 時， ， 遞增．
③若 ，當 時， ， 遞減．
當 時，解 得 ，
當 時， ， 遞增，
當 時， ， 遞減．
④ ，對任意 ， ， 在 上遞減．
綜上所述，當 時， 在 或 上單調遞增，在 上單調遞減；
當 時， 在 上單調遞增，在 上單調遞減；
當 時， 在 上單調遞增，在 ， 上單調遞減；
當 時， 在 上單調遞減．
19. 解：（1） 則有 .
（2）由（1）得
令 ,
①當 時， .若 ， 是減函數(shù)，∴ ，即 故 在 不恒成立.
②當 時， .若 ， 是增函數(shù)，∴ ，
即 故 時 .綜上所述， 的取值范圍是 .
（3）由（2）知，當 時，有 .令 ，則 即當 時，總有 令 ，則 .將上述 個不等式累加得 整理得
20.解:(1)因為點 的坐標為 , 的坐標為 ,
所以點 的坐標為 ,則 故 的關系為
(2)設切點為 ,則 得 ,所以
解不等式 得 .
.
的取值范圍是
(3) 由 得 ,即 ,故
,
所以數(shù)列 是以2為公比,首項為 的等比數(shù)列, 即 解得 ,
數(shù)列 的通項公式為 .
21. 略解：（1）
.
，
而 ,
又 ,得 ,
又 ,得 ,由于 ,故 .
所以 .
所以 .
（2） ，故
，
下面證明： 成立.
法1： .
令 ，則 ，
可知 .即 .
法2： 即
由于 .
令 ，則 ，可知 .
故 成立.
22. 解： (1)設
∴
(2)∵c＝2 ∴b＝2 ∴ ，
由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an ≠ 1．
當n ≥ 2時，2 Sn -1＝an－1－ ……②，
①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，
∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1，
當n＝1時，2a1＝a1－a12 a1＝－1，
若an＝－an－1，則a2＝1與an ≠ 1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n．
∴要證不等式，只要證 ，即證 ，
只要證 ，即證 ．
考慮證不等式 (x＞0) . (**)
令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－ (x＞0) ．
∴ ＝ ， ＝ ，
∵x＞0， ∴ ＞0， ＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函數(shù)，
∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0時， ．
令 則(**)式成立，∴ ＜ ＜ ，
(3)由(2)知bn＝ ，則Tn＝ ．
在 中，令n＝1，2，3， ，2008，并將各式相加，
得 ，
即T2009－1＜ln2009＜T2008．
23.解:（1）令 ，得 ，
……①，
令 得 ．
……②
由①、②，得 ．
為單調函數(shù)， ．
（2）由（1）得
.
24.解:（1） ，則 ，
得 ，即 ，
∴數(shù)列 是首項為2、公差為1的等差數(shù)列，∴ ，即 .
（2） ，∴函數(shù) 在點 N*）處的切線方程為：
，令 ，得 ．
，僅當 時取得最小值，
只需 ，解得 ，故 的取值范圍為 ．
（3） ，故 ，
，故 ，則 ，即 ．
∴
= ．
又 ，
故 ．


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