j 2013屆高三數(shù)學章末綜合測試題（14）立體幾何

一、：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1 ．建立坐標系用斜二測畫法畫正△ABC的直觀圖，其中直觀圖不是全等三角形的一組是(　　)

解析：由直觀圖的畫法知選項C中兩三角形的直觀圖其長度已不相等.
答案：C
2．已知幾何體的三視圖(如下圖)，若圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰為3，則該幾何體的表面積為(　　)

A．4π　　　　B． 3π　　　　C．5π　　　　D．6π
解析：由三視圖知，該幾何體為一個圓錐與一個半球的組合體，而圓錐的側面積為π×1×3＝3π，半球的表面積為2π×12＝2π，∴該幾何體的表面積為3π＋2π＝5π.
答案：C
3．已知a，b，c，d是空間中的四條直線，若a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么(　　)
A．a(chǎn)∥b，且c∥d
B．a(chǎn)，b，c，d中任意兩條都有可能平行
C．a(chǎn)∥b或c∥d
D．a(chǎn)，b，c，d中至多有兩條平行
解析：如圖，作一長方體，從長方體中觀察知C選項正確.

答案：C
4．設α、β、γ為平面，、n、l為直線，則⊥β的一個充分條件是(　　)
A．α⊥β，α∩β＝l，⊥l B．α∩γ＝，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，⊥α D．n⊥α，n⊥β，⊥α
解析：∵n⊥αn⊥β⇒α∥β⊥α⇒⊥β.
答案：D
5．如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面的對數(shù)為(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
解析：AB⊥BD，面ABD⊥面BCD，且交線為BD，則AB⊥面BCD，則面ABC⊥面BCD.同理CD⊥面ABD，則面ACD⊥面ABD，因此共有3對互相垂直的平面.
答案：C
6．給定下列四個命題：
①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；
②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；
③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；
④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．
其中，為真命題的是(　　)
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
解析：①中兩直線不一定相交，∴①錯誤，③命題在同一平面內(nèi)成立，在空間不正確，②④正確.
答案：D
7．設a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下 列命題中正確的是(　　)
A．若a∥b，a∥α，則b∥α
B．若α⊥β，a∥α，則a⊥β
C．若α⊥β，a⊥β，則a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β
解析：∵選項A中b∥α，或b?α；選項B中a⊥β或a?β，或a∥β；選項C中a∥α，或a?α. [新 標 第 一 網(wǎng)
答案：D
8．已知三棱柱的側棱長為2，底面是邊長為2的正三角形，AA1⊥面A1B1C1，主視圖是邊長為2的正方形，則側視圖的面積為(　　)
A．4 B．23 C．22 D.3
解析：左視圖是長為2，寬為3的長方形，故其面積為23.
答案：B
9．若、n為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面 ，則以下命題的正確的是(　　)
A．若∥α，n?α，則∥n
B．若∥α，n∥α，則∥n
C．若∥α，?β，α∩β＝n，則 ∥n
D．若α∩β＝，n∥，則n∥α
解析：當∥α，n?α時，與n時可能平行，還可能異面，
∴A選項錯誤．
當∥α，n∥α時，與n可能平行，也可能異面， 還可能相交．∴B選項錯誤．
選項C即為線面平行的性質(zhì)定理，∴C正確．
當α∩β＝，n∥n時，n與α可能平行，n也可能在α內(nèi).
答案：C
10．在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結論中不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC

解析：如圖，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF，∴A正確．
由圖知BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE，
∴DF⊥平面PAE，∴B正確.
答案：C

11．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BB1＝4，長為1的線段PQ在棱AA1上移動，長為3的線段N在棱CC1上移動，點R在棱BB1上移動，則四棱錐R－PQN的體積是(　　)
A．6 B．10
C．12 D．不確定
解析：四棱錐R－PQ N的底面積為
S＝S△PQ＋S△NP＝12PQ•AC＋12N•AC
＝12(PQ＋N)•AC＝12(1＋3)×32＝62.
其高h＝322，
VR－PQN＝13Sh＝13×62×322＝6.
答案：A
12．點P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，則PA與BD所成的角的度數(shù)為(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：將圖形補成一個正方體如圖，則PA與BD所成角等于BC′與BD所成角，即∠DBC′.在等邊三角形DBC′中，∠DBC′＝60°，即PA與BD所成角為60°..

答案：C
第Ⅱ卷　(非選擇　共90分)
二、題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．
13．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界上移動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是__________．
解析：由題意，當P點移動時，AP確定的平面與BD1垂直，∴點P應在線段B1C上．
答案：線段B1C

14．如圖，已知球O的面上四點A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，則球O的體積等于__________．
解析：由題意，△DAC，△DBC都是直角三角形，且有公共的斜邊，所以DC邊的中點到B和A的距離都等于DC的一半，所以DC邊的中點是球心并且半徑為線段DC長的一半．
由于DC＝DA2＋AB2＋BC2＝3，
的以球的體積V＝43π323＝92π.
答案：92π
15．已知球O的半徑為1，A，B，C三點都在球面上，且每兩點間的球面距離為π2，則球心O到平面ABC的距離為__________．

解析：球心O與A，B，C三點構成正三棱錐O－ABC，如圖所示，
已知OA＝OB＝OC＝R＝1，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝90°，
由此可得AO⊥面BOC.S△BOC＝12，S△ABC＝32.
由VA－BOC＝VO－ABC，得h＝33.
答案：33
16．某幾何體的一條棱長為7，在該幾何體的主視圖中，這條棱的投影是長為6的線段，在該幾何體的左視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a 和b的線段，則a＋b的最大值為__________．

解析：如圖，設該棱為線段AB，其中A點在平面xOy內(nèi)，點B在平面yOz內(nèi)，設AB的主視圖投影為BC，左視圖投影為BE，俯視圖投影為AD.

∴t≤4，即a+b≤4.故a+b的最大值為4.
答案：4
三、解答題：本大題共6小題，共70分．

17．(10分)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點．
(1)求證：EF∥平面ABC1D1；
(2)求三棱錐VB1－E FC的體積．
解析：(1)連接BD1，在△DD1B中，
E、F分別為D1D，DB的中點，則

EF∥D1B

(2)∵F為BD的中點，
∴CF⊥BD，
又∵CF⊥BB1，BB1∩BD＝B，∴CF⊥平面BDD1B1，
∴CF⊥平面EFB1，
且CF＝BF＝2.
∵EF＝12BD1＝3，
B1F＝BF2＋BB12＝(2)2＋22＝6，
B1E＝B1D12＋D1E2＝(22)2＋12＝3，
∴EF2＋B1F2＝B1E2，即∠EFB1＝90°，
∴VB1－EFC＝VC－B1EF＝13•S△B1EF•CF
＝13×12•EF•B1F•CF
＝13×12×3×6×2＝1.

18．(12分)如圖，在直三棱柱(側棱與底面垂直的三棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，D是BC邊的中點．
(1)求證：AB⊥A1C；
(2)求證：A1C∥平面AB1D.

解析：(1)直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三邊長AB=8，AC=6，BC=10，∴AC⊥AB，
又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，AA1∩AC=A，
∴AB⊥平面A1C，
∴AB⊥A1C.


19．(12分)如圖，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F(xiàn)為CE上的一點，且BF⊥平面ACE.
(1)求證：AE⊥BE；
(2)求證：AE∥平面BFD.
解析：(1)∵平面ABCD⊥平面ABE，
平面ABCD∩平面ABE＝AB ，AD⊥AB.
∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE.
∵AD∥BC，則BC⊥AE.
又BF⊥平面ACE，則BF⊥AE.
∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，
∴AE⊥BE.

(2)設AC∩BD=G，連接FG，
易知G 是AC的中點，
∵BF⊥平面ACE，
則BF⊥CE.而BC=BE，
∴F是EC的中點．

∴AE∥平面BFD.

20．(12分)已知四邊形ABCD為矩形 ，AD＝4，AB＝2，E、F分別是線段AB、BC的中點，PA⊥面ABCD.
(1)求證：PF⊥FD；
(2)設點G在PA上，且EG∥面PFD，試確定點G的位置．
解析：(1)連接AF，在矩形ABCD中，
∵AD＝4，AB＝2，點F是BC的中點，
∴∠AFB＝∠DFC＝45°，
∴∠AFD＝90°，即AF⊥FD，
又∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥FD，
又∵AF∩PA＝A，
∴FD⊥面PAF，
∵PF?面PAF，
∴PF⊥FD.
(2)過E作EH∥FD交AD于 H，
則EH∥面PFD，且AH＝14AD.
過H作HG∥PD交PA于G.
則GH∥面PFD且AG＝14PA，
∴面EHG∥面PFD，
則EG∥面PFD，
從而點G滿足AG＝14PA，
即G點的位置在PA上靠近A點的四等分點處．

21．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB ＝2AD＝2DC＝2PD＝4(單位：c)，E為PA的中點．
(1)如圖，若主視方向與AD平行．請作出該幾何體的主視圖并求出主視圖的面積；
(2)證明：DE∥平面PBC；
(3)證明：DE⊥平面PAB.

解析：(1)主視圖如右：
主視圖面積S＝12×4×2＝4(c2)．
(2)設PB的中點為F，連接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，

22．(12分)一個多面體的直觀圖，正視圖，側視圖如下所示，其中正視圖、側視圖為邊長為a的正方形．

(1)請在指定的框內(nèi)畫出多面體的俯視圖；
(2)若多面體底面對角線AC、BD交于點O，E為線段AA1的中點，求證：OE∥平面A1C1C；
(3)求該多面體的表面積．
解析：根據(jù)多面體的直觀圖，正視圖、側視圖，得到俯視圖如下


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