2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)
理 科 數(shù) 學(xué)
本試卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷(非)兩部分, 共150分. 考試用時(shí)120分鐘. 第Ⅰ卷1至2頁, 第Ⅱ卷3至5頁.
答卷前, 考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上, 并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼. 答卷時(shí), 考生務(wù)必將答案?寫在答題卡上, 答在試卷上的無效. 考試結(jié)束后, 將本試卷和答題卡一并交回.
祝各位考生考試順利!
第Ⅰ卷
注意事項(xiàng)：
1.每小題選出答案后, 用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑. 如需改動(dòng), 用橡皮擦干凈后, 再選?其他答案標(biāo)號.
2.本卷共8小題, 每小題5分, 共40分.
參考公式:
?如果事件A, B互斥, 那么
?棱柱的體積公式V=Sh，
其中S表示棱柱的底面面積, h表示棱柱的高.
?如果事件A, B相互獨(dú)立, 那么
?球的體積公式
其中R表示球的半徑.
一．選擇題: 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
(1) 已知集合A = {x∈R x≤2}, A = {x∈R x≤1}, 則
(A) (B) [1,2](C) [2,2](D) [－2,1]
(2) 設(shè)變量x, y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)z = y－2x的最小值為
(A) －7(B) －4
(C) 1(D) 2
(3) 右邊的程序框圖, 運(yùn)行相應(yīng)的程序, 若輸入x的值為1, 則輸出S的值為
(A) 64(B) 73
(C) 512(D) 585
(4) 已知下列三個(gè)命題:
①若一個(gè)球的半徑縮小到原來的 , 則其體積縮小到原來的 ;
②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等, 則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等;
③直線x + y + 1 = 0與圓 相切.
其中真命題的序號是:
(A) ①②③(B) ①②
(C) ②③(D) ②③
(5) 已知雙曲線 的兩條漸近線與拋物線 的準(zhǔn)線分別交于A, B兩點(diǎn), O為坐標(biāo)原點(diǎn). 若雙曲線的離心率為2, △AOB的面積為 , 則p =
(A) 1(B) (C) 2(D) 3
(6) 在△ABC中, 則 =
(A) (B) (C) (D)
(7) 函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4
(8) 已知函數(shù) . 設(shè)關(guān)于x的不等式 的解集為A, 若 , 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
(A) (B)
(C) (D)
2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)
理 科 數(shù) 學(xué)
第Ⅱ卷
注意事項(xiàng)：
1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.
2. 本卷共12小題, 共110分.
二．題: 本大題共6小題, 每小題5分, 共30分.
(9) 已知a, b∈R, i是虛數(shù)單位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 則a + bi = .
(10) 的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .
(11) 已知圓的極坐標(biāo)方程為 , 圓心為C, 點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 , 則CP = .
(12) 在平行四邊形ABCD中, AD = 1, , E為CD的中點(diǎn). 若 , 則AB的長為 .
(13) 如圖, △ABC為圓的內(nèi)接三角形, BD為圓的弦, 且BD//AC. 過點(diǎn)A 做圓的切線與DB的延長線交于點(diǎn)E, AD與BC交于點(diǎn)F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 則線段CF的長為 .
(14) 設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = 時(shí), 取得最小值.
三．解答題: 本大題共6小題, 共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟.
(15) (本小題滿分13分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
(16) (本小題滿分13分)
一個(gè)盒子里裝有7張卡片, 其中有紅色卡片4張, 編號分別為1, 2, 3, 4; 白色卡片3張, 編號分別為2, 3, 4. 從盒子中任取4張卡片 (假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4張卡片中, 含有編號為3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4張卡片中, 紅色卡片編號的最大值設(shè)為X, 求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(17) (本小題滿分13分)
如圖, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 側(cè)棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E為棱AA1的中點(diǎn).
(Ⅰ) 證明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.
(Ⅲ) 設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上, 且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為 , 求線段AM的長.
(18) (本小題滿分13分)
設(shè)橢圓 的左焦點(diǎn)為F, 離心率為 , 過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為 .
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點(diǎn), 過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點(diǎn). 若 , 求k的值.
(19) (本小題滿分14分)
已知首項(xiàng)為 的等比數(shù)列 不是遞減數(shù)列, 其前n項(xiàng)和為 , 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列.
(Ⅰ) 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 設(shè) , 求數(shù)列 的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.
(20) (本小題滿分14分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 證明: 對任意的t>0, 存在唯一的s, 使 .


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