數(shù) 學(xué)（理 科）試卷 2013.4.21
本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．
注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
2．非必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合 ， ，則集合
A． B． C． D．
2．設(shè) 是實(shí)數(shù)，且 是實(shí)數(shù)，則
A． B．
3．已知函數(shù) （其中 ， ）的最小正周期是 ，且 ，則
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為
（1）如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；
（2）兩條直線可以確定一個(gè)平面；
（3）若 ， ， ，則 ；
（4）空間中，相交于同一點(diǎn)的三直線在同一平面內(nèi)．
A．1B．2C．3D．4
5．已知 ，則 的值為
A． B． C．1D．2
6．設(shè) 是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)，將 和 的圖像畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是
A．B．C．D．
7．設(shè) ， 分別為具有公共焦點(diǎn) 與 的橢圓和雙曲線的離心率， 為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足 ，則 的值為
A． B．1C．2D．不確定
8．已知 ， （ 、 ，且對任意 、 都有：
① ；② ．
給出以下三個(gè)結(jié)論：（1） ；（2） ；（3） ．
其中正確的個(gè)數(shù)為
A．3B．2C．1D．0
二、題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分．
9．圓心為 且與直線 相切的圓的方程是_______________．
10．向量 、 滿足 ， ， ，則 、 的夾角為________．
11．若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有________種．
12．如右圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖是周長為4一個(gè)內(nèi)角為 的菱形，俯視圖是圓及其圓心，那么這個(gè)幾何體的表面積為________．
13．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）極坐標(biāo)系下，直線
與圓 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．
14．（不等式選講選做題） 、 ， ，則 的最小值為______．
15．（幾何證明選講選做題）如圖所示，等腰三角形 的底邊 長
為6 , 其外接圓的半徑長為5, 則三角形 的面積是________．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
設(shè)集合 ， ．
（1）求集合 ；
（2）若不等式 的解集為 ，求 ， 的值．
17．（本小題滿分12分）
已知函數(shù) ．
（1）求 的最值；
（2）求 的單調(diào)增區(qū)間．
18．（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐 中， 底面 ， ， ， ， ， 是 的中點(diǎn)．
（1）求證： ；
（2）求證： 面 ；
（3）求二面角 的平面角的正弦值．
19．（本小題滿分14分）
已知拋物線 （ 為非零常數(shù)）的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 為拋物線 上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn) 且與拋物線 相切的直線記為 ．
（1）求 的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn) 在何處時(shí)，點(diǎn) 到直線 的距離最小？
20．（本小題滿分14分）
數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列．令 ，
， ．
（1）試用 、 表示 和 ；
（2）若 ， 且 ，試比較 與 的大小；
（3）是否存在實(shí)數(shù)對 ，其中 ，使 成等比數(shù)列．若存在，求出實(shí)數(shù)對 和 ；若不存在，請說明理由．
21．（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù) ，其中 為常數(shù)．
（1）當(dāng) 時(shí)，判斷函數(shù) 在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù) 的有極值點(diǎn)，求 的取值范圍及 的極值點(diǎn)；
（3）求證對任意不小于3的正整數(shù) ，不等式 都成立．
珠海市2013年高三模擬考試
數(shù) 學(xué)（理 科）參考答案
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．D2．B3．D4．A5．C6．D7．C8．A
二、題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分．
9． 10． （或 ）11．
12． 13． 14．
15．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
解： ，………………………………………………3分
，………………………3分
（1） ；…………………………………………………….2分
（2）因?yàn)?的解集為 ，
所以 為 的兩根，………………………………………2分
故 ，所以 ， ．…………………………………….2分
17．（本小題滿分12分）
解： …………………………………………2分
…………………………………………2分
…………………………………………………….2分
（1） 的最大值為 、最小值為 ；………………………………………………2分
（2） 單調(diào)增，故 ，……………………………2分
即 ，
從而 的單調(diào)增區(qū)間為 ．……………………2分
18．（本小題滿分14分）
（1）證明： 底面 ，
又 ， ，故 面
面 ，故 …………………………………………………4分
（2）證明： ， ，故
是 的中點(diǎn)，故
由（1）知 ，從而 面 ，故
易知 ，故 面 ………………………………………………5分
（3）過點(diǎn) 作 ，垂足為 ，連結(jié) ．
由（2）知， 面 ，故 是二面角 的一個(gè)平面角．
設(shè) ，則 ， ，
從而 ，故 ．………………5分
說明：如學(xué)生用向量法解題，則建立坐標(biāo)系給2分，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)給2分，第（1）問正確給2分，第（2）問正確給4分，第（3）問正確給4分。
19．（本小題滿分14分）
解：（1）拋物線方程為 ………………………………………………………2分
故焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為 …………………………………………………………2分
（2）設(shè)
20．（本小題滿分14分）
解：（1）當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)，
所以
；……………………4分
（2）因?yàn)?，
所以
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
所以當(dāng) ， 且 時(shí)， ，即 ；…………5分
（3）因?yàn)?， ，所以 ，
因?yàn)?為等比數(shù)列，則 或 ，
所以 或 （舍去），所以 .…………………………5分
21．（本小題滿分14分）
解：（1）由題意知， 的定義域?yàn)?，
…… 1分
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在定義域 上單調(diào)遞增． …… 2分
（2）①由（Ⅰ）得，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 無極值點(diǎn)．
② 時(shí)， 有兩個(gè)相同的解 ，
時(shí)，
時(shí)，函數(shù) 在 上無極值點(diǎn)． …… 3分
③當(dāng) 時(shí)， 有兩個(gè)不同解，
時(shí)， ，
,
此時(shí) ， 隨 在定義域上的變化情況如下表：
減極小值增
由此表可知： 時(shí)， 有惟一極小值點(diǎn) ， …… 5分
ii) 當(dāng) 時(shí)，0< <1
此時(shí)， ， 隨 的變化情況如下表：
增極大值減極小值增
由此表可知： 時(shí)， 有一個(gè)極大值 和一個(gè)極小值點(diǎn) ； …… 7分
綜上所述：
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 有極值點(diǎn); …… 8分
當(dāng) 時(shí)， 有惟一最小值點(diǎn) ；
當(dāng) 時(shí)， 有一個(gè)極大值點(diǎn) 和一個(gè)極小值點(diǎn)
（3）由(2)可知當(dāng) 時(shí)，函數(shù) ，
此時(shí) 有惟一極小值點(diǎn)
且 …… 9分
…… 11分
令函數(shù)


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