2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學（理科）逐題詳解
參考公式:臺體體積公式 ,其中 分別是臺體的上、下底面積, 表示臺體的高.
一、:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1．設(shè)集合 , ,則 ( )
A . B． C． D．
【解析】D；易得 , ,所以 ,故選D．
2．定義域為 的四個函數(shù) , , , 中,奇函數(shù)的個數(shù)是( )
A . B． C． D．
【解析】C；考查基本初等函數(shù)和奇函數(shù)的概念,是奇函數(shù)的為 與 ,故選C．
3．若復(fù)數(shù) 滿足 ,則在復(fù)平面內(nèi), 對應(yīng)的點的坐標是( )
A . B． C． D．
【解析】C； 對應(yīng)的點的坐標是 ,故選C．
4．已知離散型隨機變量 的分布列為
則 的數(shù)學期望 ( )
A . B． C． D．
【解析】A； ,故選A．
5．某四棱臺的三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是 ( )
A . B． C． D．
【解析】B；由三視圖可知,該四棱臺上下底面邊長分別為
和 的正方形,高為 ,故 ,,故選B．
6．設(shè) 是兩條不同的直線, 是兩個不同的平面,下列命題中正確的是( )
A . 若 , , ,則 B．若 , , ,則
C．若 , , ,則 D．若 , , ,則
【解析】D；ABC是典型錯誤命題,選D．
7．已知中心在原點的雙曲線 的右焦點為 ,離心率等于 ,在雙曲線 的方程是 ( )
A . B． C． D．
【解析】B；依題意 , ,所以 ,從而 , ,故選B．
8．設(shè)整數(shù) ,集合 .令
若 和 都在 中,則下列選項正確的是( )
A . , B． ,
C． , D． ,
【解析】B；特殊值法,不妨令 , ,則 , ,故選B．
如果利用直接法:因為 ， ，所以 …①， …②， …③三個式子中恰有一個成立； …④， …⑤， …⑥三個式子中恰有一個成立.配對后只有四種情況：第一種：①⑤成立，此時 ，于是 ， ；第二種：①⑥成立，此時 ，于是 ， ；第三種：②④成立，此時 ，于是 ， ；第四種：③④成立，此時 ，于是 ， .綜合上述四種情況，可得 ， .
二、題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分
(一)必做題(9～13題)
9．不等式 的解集為___________．
【解析】 ；易得不等式 的解集為 .
10．若曲線 在點 處的切線平行于 軸,則 ______.
【解析】 ；求導得 ,依題意 ,所以 .
11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入 的值為 ,則輸出 的值為______.
【解析】 ；第一次循環(huán)后: ；第二次循環(huán)后: ；
第三次循環(huán)后: ；第四次循環(huán)后: ；故輸出 .
12. 在等差數(shù)列 中,已知 ,則 _____.
【解析】 ；依題意 ,所以
或
13. 給定區(qū)域 : ,令點集
是 在 上取得最大值或最小值的點 ,則 中的點共確定______
條不同的直線.
【解析】 ；畫出可行域如圖所示,其中 取得最小值時的整點為 ,取得最大值時的整點為 , , , 及 共 個整點.故可確定 條不同的直線.
（二）選做題（14、15題,考生只能從中選做一題,兩題全答的,只計前一題的得分）
14.(坐標系與參數(shù)方程選講選做題)已知曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)), 在點 處的切線為 ,以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,則 的極坐標方程為_____________.
【解析】 ；曲線 的普通方程為 ,其在點 處的切線 方程為 ,對應(yīng)的極坐標方程為 ,即 .
15. (幾何證明選講選做題)如圖, 是圓 的直徑,點 在圓 上,
延長 到 使 ,過 作圓 的切線交 于 .若
, ,則 _________.
【解析】 ；依題意易知 ,所以 ,又
,所以 ,從而 .
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（12分）已知函數(shù) , .
(Ⅰ) 求 的值； (Ⅱ) 若 , ,求 ．
【解析】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)
因為 , ,所以 ,
所以 ,
所以 .
17．（12分）某車間共有 名工人,隨機抽取 名,他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù).
(Ⅰ) 根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；
(Ⅱ) 日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.
根據(jù)莖葉圖推斷該車間 名工人中有幾名優(yōu)秀工人；
(Ⅲ) 從該車間 名工人中,任取 人,求恰有 名優(yōu)秀工人的概率.
【解析】(Ⅰ) 樣本均值為 ；
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為 ,
故推斷該車間 名工人中有 名優(yōu)秀工人.
(Ⅲ) 設(shè)事件 :從該車間 名工人中,任取 人,恰有 名優(yōu)秀工人,則
18．（14分）如圖1,在等腰直角三角形 中, , , 分別是 上的點, ,
為 的中點.將 沿 折起,得到如圖2所示的四棱錐 ,其中 .
(Ⅰ) 證明: 平面 ；(Ⅱ) 求二面角 的平面角的余弦值.
【解析】(Ⅰ) 在圖1中,易得
連結(jié) ,在 中,由余弦定理得
由翻折不變性可知 ,
所以 ,所以 ,
理可證 , 又 ,所以 平面 .
(Ⅱ) 傳統(tǒng)法:過 作 交 的延長線于 ,連結(jié) ,
因為 平面 ,所以 ,所以 為二面角 的平面角.
結(jié)合圖1可知, 為 中點,故 ,從而
所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值為 .
向量法:以 點為原點,建立空間直角坐標系 如圖所示,
則 , ,
所以 ,
設(shè) 為平面 的法向量,則
,即 ,解得 ,令 ,得
由(Ⅰ) 知, 為平面 的一個法向量,
所以 ,即二面角 的平面角的余弦值為 .
19．（14分）設(shè)數(shù)列 的前 項和為 .已知 , , .
(Ⅰ) 求 的值；(Ⅱ) 求數(shù)列 的通項公式；(Ⅲ) 證明:對一切正整數(shù) ,有 .
【解析】(Ⅰ) 依題意, ,又 ,所以 ；
(Ⅱ) 當 時, ,
兩式相減得
整理得 ,即 ,又
故數(shù)列 是首項為 ,公差為 的等差數(shù)列,
所以 ,所以 .
(Ⅲ) 當 時, ；當 時, ；
當 時, ,此時
綜上,對一切正整數(shù) ,有 .
20．（14分）已知拋物線 的頂點為原點,其焦點 到直線 : 的距離為 .設(shè) 為直線 上的點,過點 作拋物線 的兩條切線 ,其中 為切點.
(Ⅰ) 求拋物線 的方程；(Ⅱ) 當點 為直線 上的定點時,求直線 的方程；
(Ⅲ) 當點 在直線 上移動時,求 的最小值.
【解析】(Ⅰ) 依題意,設(shè)拋物線 的方程為 ,由 結(jié)合 ,解得 .
所以拋物線 的方程為 .
(Ⅱ) 拋物線 的方程為 ,即 ,求導得
設(shè) , (其中 ),則切線 的斜率分別為 , ,
所以切線 的方程為 ,即 ,即
同理可得切線 的方程為
因為切線 均過點 ,所以 ,
所以 為方程 的兩組解.所以直線 的方程為 .
(Ⅲ) 由拋物線定義可知 , ,
所以
聯(lián)立方程 ,消去 整理得
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得 ,
所以
又點 在直線 上,所以 ,所以
所以當 時, 取得最小值,且最小值為 .
21．（14分）設(shè)函數(shù) (其中 ).
(Ⅰ) 當 時,求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ) 當 時,求函數(shù) 在 上的最大值 .
【解析】(Ⅰ) 當 時, ,
令 ,得 ,
當 變化時, 的變化如下表:
極大值 極小值
右表可知,函數(shù) 的遞減區(qū)間為 ,遞增區(qū)間為 , .
(Ⅱ) ,
令 ,得 , ,
令 ,則 ,所以 在 上遞增,
所以 ,從而 ,所以
所以當 時, ；當 時, ；
所以
令 ,則 ,
令 ,則
所以 在 上遞減,而
所以存在 使得 ,且當 時, ,
當 時, ,所以 在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.
因為 , ,所以 在 上恒成立,當且僅當 時取得“ ”.


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