海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)
數(shù) 學(xué) （理科） 2013.5
本試卷共4頁(yè)，150分�？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘�？忌鷦�(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上
作答無(wú)效�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).
1.集合 ， ，則
A． B． C． D．
2.已知數(shù)列 是公比為 的等比數(shù)列，且 ， ，則 的值為
A． B． C． 或 D． 或
3. 如圖，在邊長(zhǎng)為 的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形 . 向正方形內(nèi)隨機(jī)撒豆子，若
撒在圖形 內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為 ，則圖形 面積的估計(jì)值為
A. B. C. D.
4.某空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為
A. B.
C. D.
5.在四邊形 中，“ ，使得 ”是“四邊形 為平行四邊形”的
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
6.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，且5不排在百位，2，4都不排在個(gè)位和萬(wàn)位，則這樣的五位數(shù)個(gè)數(shù)為
A. B. C. D.
7.雙曲線(xiàn) 的左右焦點(diǎn)分別為 ，且 恰為拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線(xiàn) 與該拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為 ，若 是以 為底邊的等腰三角形，則雙曲線(xiàn) 的離心率為
A. B. C. D.
8. 若數(shù)列 滿(mǎn)足：存在正整數(shù) ，對(duì)于任意正整數(shù) 都有 成立，則稱(chēng)數(shù)列 為周期數(shù)列，周期為 . 已知數(shù)列 滿(mǎn)足 ，
則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是
A. 若 ，則 可以取3個(gè)不同的值
B. 若 ，則數(shù)列 是周期為 的數(shù)列
C. 且 ，存在 ， 是周期為 的數(shù)列
D. 且 ，數(shù)列 是周期數(shù)列
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線(xiàn) 的距離為_(kāi)______.
10.已知 ，則 按照從大到小排列為_(kāi)_____.
11.直線(xiàn) 過(guò)點(diǎn) 且傾斜角為 ，直線(xiàn) 過(guò)點(diǎn) 且與直線(xiàn) 垂直，則直線(xiàn) 與直線(xiàn) 的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)___.
12.在 中， ，則
13.正方體 的棱長(zhǎng)為 ，若動(dòng)點(diǎn) 在線(xiàn)段 上運(yùn)動(dòng)，則 的取值范圍是______________.
14.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn) 到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn) 的距離，記點(diǎn) 的軌跡為曲線(xiàn) .
(I) 給出下列三個(gè)結(jié)論：
①曲線(xiàn) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
②曲線(xiàn) 關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)；
③曲線(xiàn) 與 軸非負(fù)半軸， 軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于 ；
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____;
(Ⅱ)曲線(xiàn) 上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為_(kāi)_____.
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明, 演算步驟或證明過(guò)程.
15.（本小題滿(mǎn)分13分）
已知函數(shù) .
（Ⅰ）求函數(shù) 的定義域；
(Ⅱ) 求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間.
16.（本小題滿(mǎn)分13分）
福彩中心發(fā)行彩票的目的是為了獲取資金資助福利事業(yè),現(xiàn)在福彩中心準(zhǔn)備發(fā)行一種面值為5元的福利彩票刮刮卡，設(shè)計(jì)方案如下：（1）該福利彩票中獎(jiǎng)率為50%；（2）每張中獎(jiǎng)彩票的中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金有5元，50元和150元三種；（3）顧客購(gòu)買(mǎi)一張彩票獲得150元獎(jiǎng)金的概率為 ，獲得50元獎(jiǎng)金的概率為 .
(I) 假設(shè)某顧客一次性花10元購(gòu)買(mǎi)兩張彩票，求其至少有一張彩票中獎(jiǎng)的概率；
（II）為了能夠籌得資金資助福利事業(yè), 求 的取值范圍.
17. （本小題滿(mǎn)分14分）
如圖1，在直角梯形 中， ， ， ，
. 把 沿對(duì)角線(xiàn) 折起到 的位置,如圖2所示,使得點(diǎn) 在平面 上的正投影 恰好落在線(xiàn)段 上，連接 ,點(diǎn) 分別為線(xiàn)段 的中點(diǎn)．
(I) 求證：平面 平面 ；
(II) 求直線(xiàn) 與平面 所成角的正弦值；
(III)在棱 上是否存在一點(diǎn) ,使得 到點(diǎn) 四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.
18. （本小題滿(mǎn)分13分）
已知函數(shù) ,點(diǎn) 為一定點(diǎn),直線(xiàn) 分別與函數(shù) 的圖象和 軸交于點(diǎn) , ,記 的面積為 .
（I）當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng) 時(shí), 若 ,使得 , 求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
19. （本小題滿(mǎn)分14分）
已知橢圓 的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為 的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
（I）求橢圓 的方程；
（II）直線(xiàn) 與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn)，且線(xiàn)段 的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，求
（ 為原點(diǎn)）面積的最大值.
20. （本小題滿(mǎn)分13分）
123
101
設(shè) 是由 個(gè)實(shí)數(shù)組成的 行 列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變?cè)撔校ɑ蛟摿校┲兴�有�?shù)的符號(hào)，稱(chēng)為一次“操作”.
(Ⅰ) 數(shù)表 如表1所示，若經(jīng)過(guò)兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫(xiě)出一種方法即可）； 表1
(Ⅱ) 數(shù)表 如表2所示，若必須經(jīng)過(guò)兩次“操作”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù) 的所有可能值；
(Ⅲ)對(duì)由 個(gè)實(shí)數(shù)組成的 行 列的任意一個(gè)數(shù)表 ，
能否經(jīng)過(guò)有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之 表2
和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由.
海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)
數(shù) 學(xué) （理科）
參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2013.5
一、（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
題號(hào)12345678
答案BDCBCABD
9． 2 10．
11.
12．
13．
14．②③;
二、題（本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，
共30分）
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15．（本小題滿(mǎn)分13分）
解：（I）因?yàn)?br>所以 ……………………2分
所以函數(shù)的定義域?yàn)?……………………4分
（II）因?yàn)?……………………6分
……………………8分
又 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
令
解得 ……………………11分
又注意到
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， …………………13分
16. 解：（I）設(shè)至少一張中獎(jiǎng)為事件
則 …………………4分
(II) 設(shè)福彩中心賣(mài)出一張彩票可能獲得的資金為
則 可以取 …………………6分
的分布列為
…………………8分
所以 的期望為
…………………11分
所以當(dāng) 時(shí)，即 …………………12分
所以當(dāng) 時(shí)，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)…………………13分17.解：（I）因?yàn)辄c(diǎn) 在平面 上的正投影 恰好落在線(xiàn)段 上
所以 平面 ，所以 …………………1分
因?yàn)樵谥苯翘菪?中， ， ，
，
所以 ， ，所以 是等邊三角形，
所以 是 中點(diǎn)， …………………2分
所以 …………………3分
同理可證
又
所以平面 平面 …………………5分
（II）在平面 內(nèi)過(guò) 作 的垂線(xiàn)
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則 ， ， …………………6分
因?yàn)?，
設(shè)平面 的法向量為
因?yàn)?，
所以有 ，即 ，
令 則 所以 …………………8分
…………………10分
所以直線(xiàn) 與平面 所成角的正弦值為 …………………11分
(III)存在，事實(shí)上記點(diǎn) 為 即可 …………………12分
因?yàn)樵谥苯侨�角�?中， ， …………………13分
在直角三角形 中，點(diǎn)
所以點(diǎn) 到四個(gè)點(diǎn) 的距離相等 …………………14分
18.解: (I) 因?yàn)?，其中 …………………2分
當(dāng) ， ，其中
當(dāng) 時(shí)， ， ，
所以 ，所以 在 上遞增， …………………4分
當(dāng) 時(shí)， ， ，
令 ， 解得 ，所以 在 上遞增
令 ， 解得 ，所以 在 上遞減 ……………7分
綜上， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
的單調(diào)遞增區(qū)間為
（II）因?yàn)?，其中
當(dāng) ， 時(shí)，
因?yàn)?，使得 ，所以 在 上的最大值一定大于等于
，令 ，得 …………………8分
當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)
對(duì) 成立， 單調(diào)遞增
所以當(dāng) 時(shí)， 取得最大值
令 ，解得 ，
所以 …………………10分
當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)
對(duì) 成立， 單調(diào)遞增
對(duì) 成立， 單調(diào)遞減
所以當(dāng) 時(shí)， 取得最大值
令 ，解得
所以 …………………12分
綜上所述， …………………13分
19.解:(I)因?yàn)闄E圓 的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，
一內(nèi)角為 的菱形的四個(gè)頂點(diǎn),
所以 ,橢圓 的方程為 …………………4分
(II)設(shè) 因?yàn)?的垂直平分線(xiàn)通過(guò)點(diǎn) ， 顯然直線(xiàn) 有斜率，
當(dāng)直線(xiàn) 的斜率為 時(shí),則 的垂直平分線(xiàn)為 軸,則
所以
因?yàn)?，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取得最大值為 ………………7分
當(dāng)直線(xiàn) 的斜率不為 時(shí),則設(shè) 的方程為
所以 ，代入得到
當(dāng) , 即
方程有兩個(gè)不同的解
又 ， …………………8分
所以 ，
又 ，化簡(jiǎn)得到
代入 ，得到 …………………10分
又原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為
所以
化簡(jiǎn)得到 …………………12分
因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)， 取得最大值
綜上， 面積的最大值為 …………………14分
20.（I）解：法1：
法2： …………………3分
(II) 每一列所有數(shù)之和分別為2，0， ，0，每一行所有數(shù)之和分別為 ，1;
①如果首先操作第三列，則
則第一行之和為 ，第二行之和為 ，
這兩個(gè)數(shù)中，必須有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另外一個(gè)為非負(fù)數(shù)，
所以 或
當(dāng) 時(shí)，則接下來(lái)只能操作第一行，
此時(shí)每列之和分別為
必有 ，解得
當(dāng) 時(shí)，則接下來(lái)操作第二行
此時(shí)第4列和為負(fù)，不符合題意. …………………6分
② 如果首先操作第一行
則每一列之和分別為 ， ， ，
當(dāng) 時(shí)，每列各數(shù)之和已經(jīng)非負(fù)，不需要進(jìn)行第二次操作，舍掉
當(dāng) 時(shí)， ， 至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，
所以此時(shí)必須有 ，即 ，所以 或
經(jīng)檢驗(yàn)， 或 符合要求
綜上： …………………9分
（III）能經(jīng)過(guò)有限次操作以后，使得得到的數(shù)表所有的行和與所有的列和均為非負(fù)實(shí)數(shù)。證明如下：
記數(shù)表中第 行第 列的實(shí)數(shù)為 （ ），各行的數(shù)字之和分別為 ，各列的數(shù)字之和分別為 ， ， ，數(shù)表中 個(gè)實(shí)數(shù)之和為 ，則 。記
．


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