一、：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中．只有一項是符合題目要求的．
1、設函數 的定義域為集合M，集合N＝ ，則 （ ）．
A． B．N C． D．M
2、已知橢圓的長軸長是短軸長的 倍，則橢圓的離心率等于（ ）．
A． B． C． D．
3、如果執(zhí)行的程序框圖（右圖所示），那么輸出的 （ ）．
Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
4、若曲線 的一條切線 與直線
垂直，則切線 的方程為（ ）．
A、 　 B、
C、 D、
5、方程 有實根的概率為（ ）．
A、 B、 C、 D、
6、已知 是平面， 是直線，則下列命題中不正確的是（ ）．
A、若 ∥ ，則 　 B、若 ∥ ，則 ∥
C、若 ，則 ∥ 　D、若 ，則
7、一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“ ”圖案，
如圖所示，設小矩形的長、寬分別為 、 ，剪去部分的面積為 ，
若 ，記 ，則 的圖象是（ ）．
8、將函數 的圖象先向左平移 ，然后將所得圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），則所得到的圖象對應的函數解析式為（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非，共110分）
二、題：本大題共7小題，其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分．每小題5分，滿分30分．
9、已知向量 ， ，若 ，則實數 的值等于 ．
10、已知 ，則 = ．
11、 是虛數單位，則 ．
12、函數 由下表定義：
若 ， ， ，則 ．
13、(坐標系與參數方程選做題)曲線 ： 上的點到曲線 ： 上的點的最短距離為 ．
14、(不等式選講選做題)已知實數 滿足 ，則 的最大值為 ．
15、(幾何證明選講選做題)如圖，平行四邊形 中，
，若 的面積等于1cm ,
則 的面積等于 cm ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16、（本小題滿分12分）設正項等比數列 的前 項和為 , 已知 ， ．
（Ⅰ）求首項 和公比 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值．
17、（本小題滿分12分）設函數 ．
（Ⅰ）求函數 的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當 時， 的最大值為2，求 的值，并求出 的對稱軸方程．
18、（本小題滿分14分）一個口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球．
（Ⅰ）采取放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求摸得白球的個數的期望和方差.
（方差： ）
19、（本小題滿分14分）如圖，已知四棱錐 的
底面 是菱形； 平面 , ，
點 為 的中點．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正切值．
20、（本小題滿分14分）給定圓P: 及拋物
線S: ,過圓心 作直線 ,此直線與上述兩曲線
的四個交點,自上而下順次記為 ,如果線
段 的長按此順序構成一個等差數列,求直
線 的方程.
21、（本小題滿分14分）設M是由滿足下列條件的函數 構成的集合：“①方程 有實數根；②函數 的導數 滿足 ”．
（Ⅰ）判斷函數 是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素 具有下面的性質：若 的定義域為D，則對于任意[m，n] D，都存在 [m，n]，使得等式 成立”，試用這一性質證明：方程 只有一個實數根；
（Ⅲ）設 是方程 的實數根，求證：對于 定義域中任意的 ，當 ，且 時， ．
廣東省惠州市2013屆高三第二次調研考試
數學試題（理科）參考答案2007.11
一、選擇題：
題號
1、解析： ，N＝ ，
即 ．答案： ．
2、解析：由題意得 ，又 ．
答案： ．
3、解析：程序的運行結果是 ．答案： ．
4、解析：與直線 垂直的切線 的斜率必為4，而 ，所以，切點為 ．切線為 ，即 ，答案： ．
5、解析：由一元二次方程有實根的條件 ，而 ，由幾何概率得有實根的概率為 ．答案： ．
6、解析：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，所以 正確；如果兩個平面與同一條直線垂直，則這兩個平面平行，所以 正確；
如果一個平面經過了另一個平面的一條垂線，則這兩個平面平行，所以 也正確；
只有 選項錯誤．答案： ．
7、解析：由題意，得 ，答案： ．
8、解析： 的圖象先向左平移 ，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍 ．答案： ．
二、題：
題號
9、解析：若 ，則 ，解得 ．
10、解析：由題意 ．
11、解析：
12、解析：令 ，則 ，令 ，則 ，
令 ，則 ，令 ，則 ，
令 ，則 ，令 ，則 ，
…，所以 ．
13、解析： ： ；則圓心坐標為 ．
： 由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離為 ，所以要求的最短距離為 ．
14、解析：由柯西不等式 ，答案： ．
15、解析：顯然 與 為相似三角形，又 ，所以 的面積等于9cm ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16、解: (Ⅰ) , ……………………… 2分
∴ ，………………………………………………… 4分
解得 ．………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)由 ,得： , ……………………… 8分
∴ ………………………………… 10分
∴ ．…………………………………………………………… 12分
17、解：（1） … 2分
則 的最小正周期 ， …………………………………4分
且當 時 單調遞增．
即 為 的單調遞增區(qū)間（寫成開區(qū)間不扣分）．………6分
（2）當 時 ，當 ，即 時 ．
所以 ． …………………………9分
為 的對稱軸． …………………12分
18、解：
（Ⅰ）解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件 ，………………………2分
∵“兩球恰好顏色不同”共 種可能，…………………………5分
∴ ． ……………………………………………………7分
解法二：“有放回摸取”可看作獨立重復實驗， …………………………2分
∵每次摸出一球得白球的概率為 ．………………………………5分
∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為 ． ……………………………7分
（Ⅱ）設摸得白球的個數為 ，依題意得：
， ， ．…………10分
∴ ，……………………………………12分
．……………………14分
19、(Ⅰ)證明: 連結 ， 與 交于點 ，連結 .………………………1分
是菱形, ∴ 是 的中點. ………………………………………2分
點 為 的中點, ∴ . …………………………………3分
平面 平面 , ∴ 平面 . ……………… 6分
(Ⅱ)解法一:
平面 , 平面 ,∴ .
，∴ . …………………………… 7分
是菱形, ∴ .
，
∴ 平面 . …………………………………………………………8分
作 ，垂足為 ，連接 ，則 ,
所以 為二面角 的平面角. ………………………………… 10分
,∴ ， .
在Rt△ 中, = ，…………………………… 12分
∴ .…………………………… 13分
∴二面角 的正切值是 . ………………………… 14分
解法二：如圖，以點 為坐標原點，線段 的垂直平分線所在直線為 軸， 所在直線為 軸， 所在直線為 軸，建立空間直角坐標系，令 ，……………2分
則 ， , ．
∴ ． ……………4分
設平面 的一個法向量為 ,
由 ，得 ，
令 ，則 ，∴ . …………………7分
平面 , 平面 ,
∴ . ………………………………… 8分
，∴ .
是菱形,∴ .
，∴ 平面 .…………………………… 9分
∴ 是平面 的一個法向量, ．………………… 10分
∴ ，
∴ ， …………………… 12分
∴ ．…………………………………… 13分
∴二面角 的正切值是 . ……………………… 14分
20、解:圓 的方程為 ,則其直徑長 ,圓心為 ,設 的方程為 ,即 ,代入拋物線方程得: ,設 ，
有 , ………………………………2分
則 . ……………………4分
故 …6分
, ………… 7分
因此 . ………………………………… 8分
據等差, , …………… 10分
所以 ，即 , ，…………… 12分
即： 方程為 或 . …………………14分
21、解：
（1）因為 ， …………………………2分
所以 ，滿足條件 . …………………3分
又因為當 時， ，所以方程 有實數根 ．
所以函數 是集合M中的元素． …………………………4分
（2）假設方程 存在兩個實數根 ），
則 ，……………………………………5分
不妨設 ，根據題意存在數
使得等式 成立， ………………………7分
因為 ，所以 ，與已知 矛盾，
所以方程 只有一個實數根；………………………10分
（3）不妨設 ，因為 所以 為增函數，所以 ，
又因為 ，所以函數 為減函數， ……………………11分
所以 ， ………………………………12分


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