高三數(shù)學(xué)（理科）
2013.4
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1．已知全集 ，集合 ， ，那么
2．若復(fù)數(shù) 的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)
3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸出 ，則輸入
角
4．從甲、乙等 名志愿者中選出 名，分別從事 ， ， ， 四項(xiàng)不同的工作，每人承擔(dān)一項(xiàng)．若甲、乙二人均不能從事 工作，則不同的工作分配方案共有
（A） 種
（B） 種
（C） 種
（D） 種
5．某正三棱柱的三視圖如圖所示，其中正（主）視
圖是邊長(zhǎng)為 的正方形，該正三棱柱的表面積是
6．等比數(shù)列 中， ，則“ ”是“ ”的
（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件
7．已知函數(shù) ，其中 ．若對(duì)于任意的 ，都有 ，則 的取值范圍是
8．如圖，正方體 中， 為底面
上的動(dòng)點(diǎn)， 于 ，且 ，則點(diǎn) 的
軌跡是
（A）線段（B）圓弧
（C）橢圓的一部分（D）拋物線的一部分
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9．已知曲線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），則曲線 的直角坐標(biāo)方程為 ．
10．設(shè)等差數(shù)列 的公差不為 ，其前 項(xiàng)和是 ．若 ， ，則 ______．
11．如圖，正六邊形 的邊長(zhǎng)為 ，則
______．
12．如圖，已知 是圓 的直徑， 在 的延長(zhǎng)線上，
切圓 于點(diǎn) ， 于 ．若 ， ，
則圓 的半徑長(zhǎng)為______； ______．
13．在直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱．點(diǎn) 在拋物線 上，且直線 與 的斜率之積等于 ，則 ______．
14．記實(shí)數(shù) 中的最大數(shù)為 ，最小數(shù)為 .設(shè)△
的三邊邊長(zhǎng)分別為 ，且 ，定義△ 的傾斜度為
．
（?）若△ 為等腰三角形，則 ______；
（?）設(shè) ，則 的取值范圍是______．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知函數(shù) 的一個(gè)零點(diǎn)是 ．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù) 的值；
（Ⅱ）設(shè) ，求 的單調(diào)遞增區(qū)間．
16．（本小題滿分13分）
某班有甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，兩組的人數(shù)如下：
現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取 名同學(xué)進(jìn)行學(xué)業(yè)檢測(cè)．
（Ⅰ）求從甲組抽取的同學(xué)中恰有 名女同學(xué)的概率；
（Ⅱ）記 為抽取的 名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望．
17．（本小題滿分14分）
在如圖所示的幾何體中，面 為正方形，面 為等腰梯形， // ， ，
， ．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求 與平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段 上是否存在點(diǎn) ，使平面 平面 ？
證明你的結(jié)論．
18．（本小題滿分13分）
已知函數(shù) ， ，其中 ．
（Ⅰ）求 的極值；
（Ⅱ）若存在區(qū)間 ，使 和 在區(qū)間 上具有相同的單調(diào)性，求 的取值范圍．
19．（本小題滿分14分）
如圖，橢圓 的左焦點(diǎn)為 ，過點(diǎn) 的直線交橢圓于 ， 兩點(diǎn)．當(dāng)直線 經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為 ．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)線段 的中點(diǎn)為 ， 的中垂線與 軸和 軸分別交于 兩點(diǎn)．記△ 的面積為 ，△ （ 為原點(diǎn)）的面積為 ，求 的取值范圍．
20．（本小題滿分13分）
已知集合 ．
對(duì)于 ， ，定義 ；
； 與 之間的距離為 ．
（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，設(shè) ， ．若 ，求 ；
（Ⅱ）（?）證明：若 ，且 ，使 ，則 ；
（?）設(shè) ，且 ．是否一定 ，使 ？
說(shuō)明理由；
（Ⅲ）記 ．若 ， ，且 ，求 的最大值．
北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷
高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
2013.4
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．B； 7．D； 8．A．
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9． ； 10． ； 11．
12． ， ； 13． ； 14． ， ．
注：12、14題第一問2分，第二問3分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.
15．（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：依題意，得 ， ………………1分
即 ， ………………3分
解得 ． ………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ． ………………6分
………………7分
………………8分
………………9分
． ………………10分
由 ，
得 ， ． ………………12分
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， ． ………………13分
16．（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：依題意，甲、乙兩組的學(xué)生人數(shù)之比為 ， ……………1分
所以，從甲組抽取的學(xué)生人數(shù)為 ；從乙組抽取的學(xué)生人數(shù)為 ．………2分
設(shè)“從甲組抽取的同學(xué)中恰有 名女同學(xué)”為事件 ， ………………3分
則 ，
故從甲組抽取的同學(xué)中恰有 名女同學(xué)的概率為 ． ………………5分
（Ⅱ）解：隨機(jī)變量 的所有取值為 ． ………………6分
， ，
， ．……………10分
所以，隨機(jī)變量 的分布列為:
17．（本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：因?yàn)?， ，
在△ 中，由余弦定理可得 ，
所以 ． ………………2分
又因?yàn)?，
所以 平面 ． ………………4分
（Ⅱ）解：因?yàn)?平面 ，所以 ．
因?yàn)?，所以 平面 ． ………………5分
所以 兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系 ． ………………6分在等腰梯形 中，可得 ．
設(shè) ，所以 ．
所以 ， ， ．
設(shè)平面 的法向量為 ，則有
所以 取 ，得 ． ………………8分
設(shè) 與平面 所成的角為 ，則 ，
所以 與平面 所成角的正弦值為 ． ………………9分
（Ⅲ）解：線段 上不存在點(diǎn) ，使平面 平面 ．證明如下： ………………10分
假設(shè)線段 上存在點(diǎn) ，設(shè) ，所以 ．
設(shè)平面 的法向量為 ，則有
所以 取 ，得 ． ………………12分
要使平面 平面 ，只需 ， ………………13分
即 ， 此方程無(wú)解．
所以線段 上不存在點(diǎn) ，使平面 平面 ． ………………14分
18.（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解： 的定義域?yàn)?， ………………1分
且 ． ………………2分
① 當(dāng) 時(shí)， ，故 在 上單調(diào)遞減．
從而 沒有極大值，也沒有極小值． ………………3分
② 當(dāng) 時(shí)，令 ，得 ．
和 的情況如下：
故 的單調(diào)減區(qū)間為 ；單調(diào)增區(qū)間為 ．
從而 的極小值為 ；沒有極大值． ………………5分
（Ⅱ）解： 的定義域?yàn)?，且 ． ………………6分
③ 當(dāng) 時(shí)，顯然 ，從而 在 上單調(diào)遞增．
由（Ⅰ）得，此時(shí) 在 上單調(diào)遞增，符合題意． ………………8分
④ 當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增， 在 上單調(diào)遞減，不合題意．……9分
⑤ 當(dāng) 時(shí)，令 ，得 ．
和 的情況如下表：
當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí) 在 上單調(diào)遞增，由于 在 上單調(diào)遞減，不合題意． ………………11分
當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí) 在 上單調(diào)遞減，由于 在 上單調(diào)遞減，符合題意．
綜上， 的取值范圍是 ． ………………13分
19．（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：依題意，當(dāng)直線 經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn) 時(shí)，其傾斜角為 ． ………………1分
設(shè) ，
則 ． ………………2分
將 代入 ，
解得 ． ………………3分
所以橢圓的離心率為 ． ………………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），橢圓的方程可設(shè)為 ． ………………5分
設(shè) ， ．
依題意，直線 不能與 軸垂直，故設(shè)直線 的方程為 ，將其代入
，整理得 ． ………………7分
則 ， ， ．
………………8分
因?yàn)?，
所以 ， ． ………………9分
因?yàn)?△ ∽△ ，
所以 ………………11分
． ………………13分
所以 的取值范圍是 ． ………………14分
20．（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：當(dāng) 時(shí)，由 ，
得 ，即 ．
由 ，得 ，或 ． ………………3分
（Ⅱ）（?）證明：設(shè) ， ， ．
因?yàn)?，使 ，
所以 ，使得 ，
即 ，使得 ，其中 ．
所以 與 同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)． ………………5分
所以
． ………………6分
（?）解：設(shè) ，且 ，此時(shí)不一定 ，使得
． ………………7分
反例如下：取 ， ， ，
則 ， ， ，顯然 ．
因?yàn)?， ，
所以不存在 ，使得 ． ………………8分
（Ⅲ）解法一：因?yàn)?，
設(shè) 中有 項(xiàng)為非負(fù)數(shù)， 項(xiàng)為負(fù)數(shù)．不妨設(shè) 時(shí) ； 時(shí)， ．
所以
因?yàn)?，
所以 ， 整理得 ．
所以 ．……………10分
因?yàn)?br> ；
又 ，
所以
．
即 ． ……………12分
對(duì)于 ， ，有 ， ，且 ，
．
綜上， 的最大值為 ． ……………13分
解法二：首先證明如下引理：設(shè) ，則有 ．
證明：因?yàn)?， ，
所以 ，
即 ．
所以
． ……………11分
上式等號(hào)成立的條件為 ，或 ，所以 ． ……………12分
對(duì)于 ， ，有 ， ，且 ，


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