(總分160分，考試時間120分鐘)一、題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上.1.已知全集 ,集合 , ,則 = ▲ .2.已知復(fù)數(shù) 的實部為 ,虛部為 ,則 ( 為虛數(shù)單位)的模為 ▲ .3.某學(xué)校為了解該校1200名男生的百米成績（單位：秒），隨機(jī)選擇了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下圖是這50名學(xué)生百米成績的頻率分布直方圖.根據(jù)樣本 的頻率分布,估計這1200名學(xué)生中成績在 （單位：秒）內(nèi)的人數(shù)大約是 ▲ . 4.已知 張卡 片（大小,形狀都相同）上分別寫有 , , , ,從中任取兩張,則這兩張卡片中最大號碼是3的概率為 ▲ .5.按如圖所示的流程圖運(yùn)算,則輸出的 ▲ . 6.已知向量 , 若 ,則實數(shù) = ▲ .7.已知數(shù)列 成等差數(shù)列,其前 項和為 ,若,則 的余弦值為 ▲ .8.設(shè) 為兩個不重合的平面， 為兩條不重合的直線，現(xiàn)給出下列四個命題：①若 ,則 ；②若 ，則 ；③若 則 ；④若 則 .其中,所有真命題的序號是 ▲ .9.已知函數(shù) , 滿足 , , , ,則函數(shù) 的圖象在 處的切線方程為 ▲ .10.在 中, , ,則 的面積為 ▲ .11.已知橢圓 和圓 ,若 上存在點 ,使得過點 引圓 的兩條切線,切點分別為 ,滿足 ,則橢圓 的離心率的取值范圍是 ▲ .12.設(shè) ,其中 為過點 的直線 的傾斜角,若當(dāng) 最大時,直線 恰好與圓 相切,則 ▲ . 13.已知函數(shù) 恰有兩個不同的零點,則實數(shù) 的取值范圍是 ▲ .14.已知對于任意的實數(shù) ,恒有“當(dāng) 時,都存在 滿足方程 ”,則實數(shù) 的取值構(gòu)成的集合為 ▲ .
二、解答題：本大題共6小題，計90分.解答應(yīng)寫出必要的字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).15．(本小題滿分14分)已知角 、 、 是 的內(nèi)角， 分別是其 對邊長，向量 ， ， . (1)求角 的大��； (2)若 ,求 的長.
16．(本小題滿分14分)如圖，在四面體 中, , 是 的中點．(1)求證: 平面 ；(2)設(shè) 為 的重心, 是線段 上一點,且 .求證: 平面 .17．(本小題滿分14分)如圖,有三個生活小區(qū)(均可看成點)分別位于 三點處, , 到線段 的距離 , (參考數(shù)據(jù): ). 今計劃建一個生活垃圾中轉(zhuǎn)站 ,為方便運(yùn)輸, 準(zhǔn)備建在線段 (不含端點)上. (1)設(shè) ,試將 到三個小區(qū)距離的最遠(yuǎn)者 表示為 的函數(shù),并求 的最小值；(2)設(shè) ,試將 到三個小區(qū)的距離之和 表示為 的函數(shù),并確定當(dāng) 取何值時,可使 最小?
18．(本小題滿分16分) 如圖, 是橢圓 的左、右頂點,橢圓 的離心率為 ,右準(zhǔn)線 的方程為 . (1)求橢圓方程； (2)設(shè) 是橢圓 上異于 的一點,直線 交 于點 ,以 為直徑的圓記為 . ①若 恰好是橢圓 的上頂點,求 截直線 所得的弦長;②設(shè) 與直線 交于點 ,試證明:直線 與 軸的交點 為定點,并求該定點的坐標(biāo). 19．(本小題滿分16分)已知數(shù)列 是等差數(shù)列,數(shù)列 是等比數(shù)列,且對任意的 ,都有 . (1)若 的首項為4, 公比為2,求數(shù)列 的前 項和 ; (2)若 . ①求數(shù)列 與 的通項公式;②試探究:數(shù)列 中是否存在某一項,它可以表示為該數(shù)列中其它 項的和？若存在,請求出該項；若不存在,請說明理由．
20．(本小題滿分16分) 已知函數(shù) ,其中 .(1)當(dāng) 時,求函數(shù) 在 處的切線方程;(2)若函數(shù) 在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求 的取值范圍;(3)已知 ,如果存在 ,使得函數(shù) 在 處取得最小值,試求 的最大值.高三年級學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)附加試題(總分40分，考試時間30分鐘)21．[選做題] 在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).A.（選修4—1：幾何證明選講）在直角三角形 中, 是 邊上的高, , , 分別為垂足,求證： .
B．（選修4—2：矩陣與變換）已知曲線 ,現(xiàn)將曲線 繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn) ,求所得曲線 的方程.C．（選修4—4：坐標(biāo)系與參 數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中,已知圓 的圓心坐標(biāo)為 ,半徑為 ,試寫出圓 的極坐標(biāo)方程.
D.（選修4—5：不等式選講）已知 為正數(shù)，求證： .
[必做題] 第22、23題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).22.如圖,在四棱錐 中, ⊥底面 ,底面 為梯形, , ,,點 在棱 上,且 ．(1)求證：平面 ⊥平面 ；(2)求平面 和平面 所成銳二面角的余弦值．23.已知數(shù)列 滿足 ,試證明: (1)當(dāng) 時,有 ； (2) .2013屆高三年級學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)參考答案
又 ， ,則由正弦定理,得 = ,即 4 …………………………14分16．證明:(1)由 ………………………………………………………………… 3分 同理， ,又∵ , 平面 ,∴ 平面 ………………7分(2)連接AG并延長交CD于點O,連接EO.因為G為 的重心,所以 ,又 ,所以 …………………………………………………………………………11分又 , ,所以 平面 ……………………………………………11分因為 ,令 ,即 ,從而 ,當(dāng) 時, ;當(dāng) 時, . ………………… 6分 又直線 的方程為 ,故圓心到直線 的距離為 ……………………8分 從而 截直線 所得的弦長為 ………………………………………10分 ②證:設(shè) ,則直線 的方程為 ,則點P的坐標(biāo)為 , 又直線 的斜率為 ,而 ,所以 , 從而直線 的方程為 …………………………………………………13分 令 ,得點R的橫坐標(biāo)為 …………………………………………………………14分 又點 在橢圓上,所以 ,即 ,故 , 所以直線 與 軸的交點 為定點,且 該定點的坐標(biāo)為 …………………………………16分19.解: (1)因為 ,所以當(dāng) 時, ,兩式相減,得 ,而當(dāng) 時, ,適合上式,從而 …………………………………3分又因為 是首項為4,公比為2的等比數(shù)列,即 ,所以 …………………………4分從而數(shù)列 的前 項和 …………………6分(2)①設(shè) ,則 ,所以 ,設(shè) 的公比為 ,則 對任意的 恒成立 ……………………8分即 對任意的 恒成立,又 ,故 ,且 …………………………………………………………………10分從而 …………………………………………………………………………………11分②假設(shè)數(shù)列 中第k項可以表示為該數(shù)列中其它 項 的和,即 ,從而 ,易知 (*)…………………13分又 ,所以 ,此與(*)矛盾,從而這樣的項不存在……………………………………………………16分20．解:(1)當(dāng) 時, ,則 ,故 ……………………2分又切點為 ,故所求切線方程為 ,即 …………………………………4分(2)由題意知, 在區(qū)間(1,2)上有不重復(fù)的零點,由 ,得 ,因為 ,所以 ……………7分令 ,則 ,故 在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù),所以其值域為 ,從而 的取值范圍是 ………………………………………………9分 (3) , 由題意知 對 恒成立,即 對 恒成立,即 ①對 恒成立 ……………………………11分 當(dāng) 時,①式顯然成立; 當(dāng) 時,①式可化為 ②, 令 ,則其圖象是開口向下的拋物線,所以 ……………13分 即 ,其等價于 ③ , 因為③在 時有解,所以 ,解得 ,從而 的最大值為 ………………………………………………………………………………16分附加題21．（A）證明： 為直角三角形, ,∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ……………………………………………4分, , , ,……………………………………………………………………………………………10 分B．解：（1）由旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式 ………………………………………………………5分得變換公式為 ，代入得曲線 的方程為 …………………………10分C ．解：設(shè) 是圓 上任一點,由余弦定理,得 ………………………5分整理得圓 的極坐標(biāo)方程為 …………………………………………………………10分D.證明： , ………………………………………………………5分同理, , ,三式相加，得 ………………………10分23．證明：(1) 當(dāng) 時, ,所以不等式成立…………………………………………………………………………………………5分(2)
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