汕頭市金中學(xué)2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期期中考試
高三科數(shù)學(xué) 試題卷
本試題分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）兩部分，滿分150分，時(shí)間120分鐘.
第Ⅰ卷 （選擇題 共50分）
一、選擇題：(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1．已知 為非零實(shí)數(shù)，且 ，則下列命題成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，則 （　 ）
A． B． C． D．
3．設(shè) , 那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
4．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組 表示的平面區(qū)域面積是（ ）．
A． B． C． D．
5．下列命題中正確的是（ ）
A. 的最小值是2B. 的最小值是2
C. 的最大值是 D. 的最小值是
6.函數(shù) 的最小值是 （ ）A. 1 B. C.2 D.0
7.已知 ,則 的大小為 ( )
A. B. C. D.
8.函數(shù) 的圖象大致是（ ）

9.已知函數(shù) 是定義在實(shí)數(shù)集R上得不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù) 都有 ，則 =（ ）A．0B. C.1 D.
10.設(shè)底面為正三角形的直棱柱體積為V,那么表面積最小時(shí),底面邊長為 ( )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 2
第Ⅱ卷 （非選擇題 共100分）
二、題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)
11． 滿足條件 的所有集合B的個(gè)數(shù)是______.
12．已知定義在R上的奇函數(shù) 滿足 ＝ (x≥0)，若 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是________．
13．若關(guān)于 的方程 只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)
14．給出一列三個(gè)命題：
①函數(shù) 為奇函數(shù)的充要條件是 ；
②若函數(shù) 的值域是R，則 ；
③若函數(shù) 是偶函數(shù)，則函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱．
其中正確的命題序號是 ．
三、解答題：（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出字說明，證明過程或演算步驟.）
15．（本小題滿分12分）已知集合 ， .
（Ⅰ）若 ，求集合 、集合

（Ⅱ）若 ，求 的取值范圍。

16．（本小題滿分12分）已知二次函數(shù) 滿足 ， ，求 的取值范圍。
17．（本小題滿分14分）已知函數(shù) 在 處取得極值，記點(diǎn) .
⑴求 的值；⑵證明：線段 與曲線 存在異于 、 的公共點(diǎn)；
18．（本小題滿分14分）某種商品的成本為5元/ 件，開始按8元/件銷售，銷售量為50件，為了獲得最大利潤，商家先后采取了提價(jià)與降價(jià)兩種措施進(jìn)行試銷。經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)：銷售價(jià)每上漲1元每天銷售量就減少10件；而降價(jià)后，日銷售量Q（件）與實(shí)際銷售價(jià)x（元）滿足關(guān)系：


（1）求總利潤（利潤＝銷售額－成本）y（元）與銷售價(jià)x（件）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試問：當(dāng)實(shí)際銷售價(jià)為多少元時(shí)，總利潤最大.
19．（本小題滿分14分）已知定義域?yàn)镽的函數(shù) 是奇函數(shù).
(1)求 的值;
(2)用定義證明 在 上為減函數(shù).
(3)若對于任意 ,不等式 恒成立,求 的范圍.

20、（本小題滿分14分）已知函數(shù) 在 處取得極值 .
⑴求 的解析式；
⑵設(shè) 是曲線 上除原點(diǎn) 外的任意一點(diǎn),過 的中點(diǎn)且垂直于 軸的直線交曲線于點(diǎn) ,試問：是否存在這樣的點(diǎn) ,使得曲線在點(diǎn) 處的切線與 平行？若存在,求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在,說明理由；
⑶設(shè)函數(shù) ,若對于任意 ,總存在 ,使得 ,求
實(shí)數(shù) 的取值范圍.

汕頭市金中學(xué)2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期期中考試
高三科數(shù)學(xué) 參考答案
一、選擇題（50分）
題號12345678910
答案CBADCBADAC
二、題（20分）
11．4 12. (-3,1) 13． 14．①②
三、解答題（80分）
15．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由 ，得 ，即 4分
由 或
即 9分
（Ⅱ） ，
的取值范圍是 12分
16．（本小題滿分12分）
解：法一：設(shè) ，則有 ，即

又 ， ，
法二：線性規(guī)劃
由已知得 （*）（1分）
（2分）
（*）如圖陰影所示直線
平行移動(dòng) ，可知 隨截距變大而變大，故 過A點(diǎn)時(shí)取最小值，過B點(diǎn)時(shí)取最大值。（8分）
由 此時(shí) =2（9分）
由 此時(shí) =27（11分）
故 （12分）
17．（本小題滿分12分）解法一：∵ ，依題意，
∴ ，（2分）
由 ，得 （3分）
令 ， 的單調(diào)增區(qū)間為 和 ，
，單調(diào)減區(qū)間為 （5分）
所以函數(shù) 在 處取得極值。 故 （7分）
所以直線 的方程為 （8分）
由 得 （9分）
令 ，易得 ，（11分）
而 的圖像在 內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，故 在 內(nèi)存在零點(diǎn) ，這表明線段 與曲線 有異于 的公共點(diǎn)。（12分）
解法二：同解法一，可得直線 的方程為 （8分）
由 得 （9分）
解得 （11分）
所以線段 與曲線 有異于 的公共點(diǎn) 。 （12分）

18. （本小題滿分14分）解：（1）依題意得：
（5分）
（2）由（1）得：當(dāng) 時(shí)，

當(dāng) 時(shí)， ， 為增函數(shù)
當(dāng) 時(shí)， 為減函數(shù)
當(dāng) 時(shí)， （8分）
當(dāng) 時(shí)， （10分）
當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)， （12分）
綜上知：當(dāng) 時(shí)，總利潤最大，（13分） 最大值為195 （14分）
19．（本小題滿分14分）解：
（1）
又 ，得 （2分） 經(jīng)檢驗(yàn) 符合題意.（3分）
(2)任取 （4分）
則 =
= （6分）
（8分）
(3) ,不等式 恒成立,

為奇函數(shù), （10分）
為減函數(shù), （11分）
即 恒成立,而 （13分）
（14分）

20. （本小題滿分14分）解：⑴∵ ,∴ .又 在 處取得極值 .
∴ ,即 ,解得 , ,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意,∴ .……… （4分）
⑵由⑴知 .假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn) ,且 ,則 ,
又 .則由 ,得 ,∴ ,
∵ ,∴ ,得 .故存在滿足條件的點(diǎn) ,此時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 或 . ………… （8分）
⑶解法 ： ,令 ,得 或 .
當(dāng) 變化時(shí), 、 的變化情況如下表：


單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減
∴ 在 處取得極小值 ,在 處取得極大值 .
又 時(shí), ,∴ 的最小值為 .
∵對于任意的 ,總存在 ,使得 ,∴當(dāng) 時(shí), 最小值不大于 .又 .
∴當(dāng) 時(shí), 的最小值為 ,由 ,得 ；當(dāng) 時(shí), 最小值為 ,由 ,得 ；
當(dāng) 時(shí), 的最小值為 .由 ,即 ,解得 或 .又 ,∴此時(shí) 不存在.
綜上, 的取值范圍是 . ………… (14分)
解法 ：同解法 得 的最小值為 .
∵對于任意的 ,總存在 ,使得 ,∴當(dāng) 時(shí), 有解,即 在 上有解.設(shè) ,則
得 ,
或 ,得 或 .
∴ 或 時(shí), 在 上有解,故 的取值范圍是 .
解法 ：同解法 得 的最小值為 .
∵對于任意的 ,總存在 ,使得 ,∴當(dāng) 時(shí), 有解,即 在 上有解.令 ,則 ,∴ .
∴當(dāng) 時(shí), ；當(dāng) 時(shí),得 ,不成立,∴ 不存在；
當(dāng) 時(shí), .令 ,∵ 時(shí), ,∴ 在 上為減函數(shù),∴ ,∴ .
綜上, 的取值范圍是 .

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