數(shù)學（理）試題
（考試時間：1 2 0分鐘試卷分數(shù)：1 5 0分）
注意事項
1．答題前將密封線內(nèi)的項目及座號填寫清楚．
2．請把第I卷中每小題你認為正確選項的代號填涂在答卷中答案欄內(nèi)．
第I卷
一、（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．已知復數(shù) （i為虛數(shù)單位），則 的虛部為
A．-1 B．0 C．i D．l
2．已知集合 ，則下列不正確的是
A． B． C． D．
3．若實數(shù) ．則函數(shù) 的圖像的一條對稱軸方程為
A．x=0B． C． D．
4．甲乙丙3位同學選修課程，從4門課程中選。甲選修2門，乙丙各選修3門，則不同的選修方案共有
A．36種 B．48種 C．96種 D．1 92種
5．已知不共線向量 則
A． B． C． D．
6．若 ，則 的大小關(guān)系
A． B．
C． D．
7．從一個正方體中截去部分幾何體，得到的幾何體三視圖如下，則此幾何體的體積是（ ）
A．64
B．
C．
D．
8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出a= 341，判斷框內(nèi)應填寫（ ）
A．k<4? B．k<5?
C．k<6? D．k<7?
9．若A為不等式組 所示的平面區(qū)域，則當a從-2連續(xù)變化到1時，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域面積為（ ）
A．2 B．1
C． D．
10．已知過拋物線y2 =2px（p>0）的焦點F的直線x－my+m=0與拋物線交于A，B兩點，且△OAB（O為坐標原點）的面積為2 ，則m6+ m4的值為（ ）
A．1 B． 2 C．2 D．4
11．平行四邊形ABCD中， ? =0，沿BD折成直二面角A一BD－C，且4AB2 +2BD2 =1，則三棱錐A－BCD的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
12．已知R上的函數(shù)y=f（x），其周期為2，且x∈（-1,1]時f（x）=1+x2，函數(shù)g（x）= ，則函數(shù)h（x）=f（x）－g（x）在區(qū)間[-5,5]上的零點的個數(shù)為（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
第Ⅱ卷
本卷分為必做題和選做題兩部分，13?21題為必做題，22、23、24為選考題。
二、題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13． 的展開式中常數(shù)項的值是 （數(shù)字作答）；
14．已知 的圖像在點 處的切線斜率是 ；
15．△ABC中， ，則∠C最大值為_ ；
16．下列若干命題中，正確命題的序號是 。
①“a=3”是直線ax+2y+2a=0和直線3x+（a一l）y一a+7 =0平行的充分不必要條件；
②△ABC中，若acosA=bcos B，則該三角形形狀為等腰三角形；
③兩條異面直線在同一平面內(nèi)的投影可能是兩條互相垂直的直線；
④對于命題 使得 ，則 均有 ．
三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、或演算步驟）
17．（12分）已知等差數(shù)列 中，首項a1=1，公差d為整數(shù)，且滿足 數(shù)列 滿足 前 項和為 ．
（1）求數(shù)列 的通項公式an；
（2）若S2為Sl， 的等比中項，求正整數(shù)m的值．
18．（12分）為了保養(yǎng)汽車，維護汽車性能，汽車保養(yǎng)一般都在購車的4S店進行，某地大眾汽車4S店售后服務部設(shè)有一個服務窗口專門接待保養(yǎng)預約。假設(shè)車主預約保養(yǎng)登記所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往車主預約登記所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：
登記所需時間（分）12345
頻率0．10．40．30．10．1
從第?個車主開始預約登記時計時（用頻率估計概率），
（l）估計第三個車主恰好等待4分鐘開始登記的概率：
（2）X表示至第2分鐘末已登記完的車主人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．
19．（12分）如圖所示，四面體ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）求二面角B?AC?D的余弦值．
20．（12分）若橢圓 的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為 ：2．
（1）過點C（-1,0）且以向量 為方向向量的直線 交橢圓于不同兩點A、B，若 ，則當△OAB的面積最大時，求橢圓的方程。
（2）設(shè)M，N為橢圓上的兩個動點， ，過原點O作直線MN的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）=1n（2ax+1）+ －x2－2ax（a∈R）．
（1）若y=f（x）在[4，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a= 時，方程f（1－x）= 有實根，求實數(shù)b的最大值．，
【選考題】
請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．
22．（10分）選修4－1：幾何證明選講
如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB =AC，直線MN切⊙O于點C，弦BD∥MN，AC與BD相交于點E．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）若AB =6，BC =4，求AE．
23．（10分）選修4－4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，直線 的參數(shù)方程為 （t 為參數(shù)）。在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為 。
（1）求圓C的直角坐標方程；
（2）設(shè)圓C與直線 交于點A，B，若點P的坐標為（2， ），求PA+PB．
24．（10分）選修4－5，不等式選講
已知函數(shù)f（x）=x+l，g（x）=2x+a．
（1）當a=0時，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．
參考答案
一、選擇題答案
題號123456789101112
答案BCBCABCCDCAC
二、 13. 45 14. -1
15. 16. （1）（3）（4）
三、解答題
17．解：
（1）由題意，得 解得 < d < ．
又d∈Z，∴d = 2．∴an=1+(n－1) 2=2n－1． 4分
（2）∵ ，
∴ ． 10分
∵ ， ， ，S2為S1，Sm(m∈ )的等比中項，
∴ ，即 ， 解得m=12． 12分
18．解：設(shè)Y表示車主登記所需的時間，用頻率估計概率，Y的分布如下：
Y12345
P0.10.40.30.10.1
（1）A表示事件“第三個車主恰好等待4分鐘開始登記”，則事件A對應三種情形：
（1）第一個車主登記所需時間為1分鐘，且第二個車主登記所需的時間為3分鐘；
（2）第一個車主登記所需的時間為3分鐘，且第二個車主登記所需的時間為1分鐘；
（3）第一個和第二個車主登記所需的時間均為2分鐘。
所以
6分
（2）X所有可能的取值為：0,1,2.X=0對應第一個車主登記所需的時間超過2分鐘，所
以 ；X=1對應第一個車主登記所需的時間為1分鐘且
第二個車主登記所需時間超過1分鐘，或第一個車主登記所需的時間為2分鐘，
所以 ；X=2對應兩個
車主登記所需的時間均為1分鐘，所以 ；
10分
所以X的分布列為
X012
P0.50.490.01
. 12分
19．
（1）證明　作AH⊥平面BCD于H，連接BH、CH、DH，
易知四邊形BHCD是正方形，且AH＝1，以D為原
點，以DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，
以垂直于DB， 的直線為z軸，建立空間直角坐
標系，如圖所示，則B(2,0,0)，C(0,2,0)， A(2,2,1)，
所以BC→＝ ， ＝ ， 4分
因此BC→?DA→＝ ，所以AD⊥BC. 6分
（2）解：設(shè)平面ABC的法向量為n1＝(x，y，z)，則由n1⊥BC→知：n1?BC→＝
同理由n1⊥AC→知：n1?AC→＝ ，
可取n1＝ ，
同理，可求得平面ACD的一個法向量為 10分
∴cos〈n1，n2〉＝n1?n2n1n2＝
即二面角B?AC?D的余弦值為 12分
20．解：
（1） ，設(shè)橢圓的方程為
依題意，直線 的方程為：
由
設(shè)
…………………………4分
當且僅當
此時 ……………………6分
（2）設(shè)點 的坐標為 ．
當 時，由 知，直線 的斜率為 ，所以直線 的方程為 ，或 ，其中 ， ．
點 的坐標滿足方程組
得 ，整理得 ，
于是 ， ．
．
由 知 ． ，
將 代入上式，整理得 ．…10分
當 時，直線 的方程為 ， 的坐標滿足方程組
所以 ， ．
由 知 ，即 ，
解得 ． ………………11分
這時，點 的坐標仍滿足 ．
綜上，點 的軌跡方程為　 ………………12分
21．解：
（1）因為函數(shù) 在 上為增函數(shù)，所以
在 上恒成立。
①當 時， 在 上恒成立，所以 在 上為增
函數(shù)，故 符合題意。
②當 時，由函數(shù) 的定義域可知，必須有 在 上恒成立，
故只能 ，所以 在 上恒成立。 ..（4分）
令函數(shù) ，其對稱軸為 ，因為 ，
所以 ，要使 在 上恒成立，只要 即可，即 ，所以 ，因為 ，所以
綜上所述， 的取值范圍為 （6分）
（2）當 ，方程 可化為 。問題轉(zhuǎn)
化為 在 上有解，即求函數(shù) 的值域。令函數(shù) （10分）
則 ，所以當 時， ，函數(shù) 在 上為增函數(shù)，當 時， ，函數(shù) 在 上為減函數(shù)，因此 。而 ，所以 ，因此當 時， 取到最大值 。
12分
22．（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講
解:（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，
∵ ∠ABE=∠ACD………………2分
又，∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN
∵直線是圓的切線，∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD
∴Δ Δ （角、邊、角） 5分
（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4
又 ∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴ BC=BE=4 8分
設(shè)AE= ，易證 ΔABE∽ΔDEC
∴ 又
∴ 10分
23．（Ⅰ）由 得 4分
（Ⅱ）將 的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得 ，
即 由于 ，故可設(shè) 是上述方程的兩實根，
所以 故由上式及t的幾何意義得：
PA+PB= = 。 10分
24．解：
所以解集為 5分
（1）即 ，使得 成立，令 ，則


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