2013.4
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．已知全集 ，集合 ， ，那么
2．復(fù)數(shù)
3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸出 ，則輸入
4．設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，前 項和為 ，且 ．若 ，則 的取值范圍是
5．某正三棱柱的三視圖如圖所示，其中正（主）
視圖是邊長為 的正方形，該正三棱柱的表
面積是
6．設(shè)實數(shù) ， 滿足條件 則 的最大值是
7．已知函數(shù) ，則“ ”是“ ，使 ”的
（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件
8．如圖，正方體 中， 是棱 的
中點(diǎn)，動點(diǎn) 在底面 內(nèi)，且 ，則
點(diǎn) 運(yùn)動形成的圖形是
（A）線段（B）圓弧
（C）橢圓的一部分（D）拋物線的一部分
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9．已知向量 ， ．若向量 與 垂直，則實數(shù) ______．
10．已知函數(shù) 則 ______．
11．拋物線 的準(zhǔn)線方程是______；該拋物線的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在此拋物線上，且 ，則 ______．
12．某廠對一批元件進(jìn)行抽樣檢測．經(jīng)統(tǒng)計，這批元件
的長度數(shù)據(jù) (單位： )全部介于 至 之間．
將長度數(shù)據(jù)以 為組距分成以下 組： ，
， ， ， ，
，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若長
度在 內(nèi)的元件為合格品，根據(jù)頻率分布直
方圖，估計這批產(chǎn)品的合格率是_____．
13．在△ 中，內(nèi)角 ， ， 的對邊邊長分別為 ， ， ，且 ．若 ，則△ 的面積是______．
14．已知數(shù)列 的各項均為正整數(shù)，其前 項和為 ．若 且 ，
則 ______； ______.
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知函數(shù) 的一個零點(diǎn)是 ．
（Ⅰ）求實數(shù) 的值；
（Ⅱ）設(shè) ，求 的單調(diào)遞增區(qū)間．
16．（本小題滿分14分）
在如圖所示的幾何體中，面 為正方形，面 為等腰梯形， // ， ， ， ．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求四面體 的體積；
（Ⅲ）線段 上是否存在點(diǎn) ，使 //平面 ？
證明你的結(jié)論．
17．（本小題滿分13分）
某商區(qū)停車場臨時停車按時段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每輛汽車一次停車不超過 小時收費(fèi) 元，
超過 小時的部分每小時收費(fèi) 元（不足 小時的部分按 小時計算）．現(xiàn)有甲、乙二人在該商區(qū)臨時停車，兩人停車都不超過 小時．
（Ⅰ）若甲停車 小時以上且不超過 小時的概率為 ，停車付費(fèi)多于 元的概率為 ，求甲
停車付費(fèi)恰為 元的概率；
（Ⅱ）若每人停車的時長在每個時段的可能性相同，求甲、乙二人停車付費(fèi)之和為 元的概率．
18．（本小題滿分13分）
已知函數(shù) ， ，其中 ．
（Ⅰ）求 的極值；
（Ⅱ）若存在區(qū)間 ，使 和 在區(qū)間 上具有相同的單調(diào)性，求 的取值范圍．
19．（本小題滿分14分）
如圖，已知橢圓 的左焦點(diǎn)為 ，過點(diǎn) 的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，線段 的中點(diǎn)為 ， 的中垂線與 軸和 軸分別交于 兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，求直線 的斜率；
（Ⅱ）記△ 的面積為 ，△ （ 為原點(diǎn)）的面
積為 ．試問：是否存在直線 ，使得 ？說明理由．
20．（本小題滿分13分）
已知集合 ．
對于 ， ，定義 ；
； 與 之間的距離為 ．
（Ⅰ）當(dāng) 時，設(shè) ， ，求 ；
（Ⅱ）證明：若 ，且 ，使 ，則 ；
（Ⅲ）記 ．若 ， ，且 ，求 的最大值．
北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷
高三數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
2013.4
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．C； 7．A； 8．B．
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9． ； 10． ； 11． ， ；
12． ； 13． ； 14． ， ．
注：11、14題第一問2分，第二問3分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分.
15．（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：依題意，得 ， ………………1分
即 ， ………………3分
解得 ． ………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ． ………………6分
………………8分
． ………………10分
由 ，
得 ， ． ………………12分
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， ． ………………13分
16．（本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：在△ 中，
因為 ， ， ，
所以 ． ………………2分
又因為 ，
所以 平面 ． ………………4分
（Ⅱ）解：因為 平面 ，所以 ．
因為 ，所以 平面 ． ………………6分
在等腰梯形 中可得 ，所以 ．
所以△ 的面積為 ． ………………7分
所以四面體 的體積為： ． ………………9分
（Ⅲ）解：線段 上存在點(diǎn) ，且 為 中點(diǎn)時，有 // 平面 ，證明如下：
………………10分
連結(jié) ，與 交于點(diǎn) ，連接 ．
因為 為正方形，所以 為 中點(diǎn)． ………………11分
所以 // ． ………………12分
因為 平面 ， 平面 ， ………………13分
所以 //平面 ．
所以線段 上存在點(diǎn) ，使得 //平面 成立． ………………14分
17．（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：設(shè)“甲臨時停車付費(fèi)恰為 元”為事件 ， ………………1分
則 ．
所以甲臨時停車付費(fèi)恰為 元的概率是 ． ………………4分
（Ⅱ）解：設(shè)甲停車付費(fèi) 元，乙停車付費(fèi) 元，其中 ． ………………6分
則甲、乙二人的停車費(fèi)用構(gòu)成的基本事件空間為：
，共 種情形． ………………10分
其中， 這 種情形符合題意． ………………12分
故“甲、乙二人停車付費(fèi)之和為 元”的概率為 ． ………………13分
18.（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解： 的定義域為 ， 且 ． ………………2分
① 當(dāng) 時， ，故 在 上單調(diào)遞增．
從而 沒有極大值，也沒有極小值． ………………4分
② 當(dāng) 時，令 ，得 ．
和 的情況如下：
??
故 的單調(diào)減區(qū)間為 ；單調(diào)增區(qū)間為 ．
從而 的極小值為 ；沒有極大值． ………………6分
（Ⅱ）解： 的定義域為 ，且 ． ………………8分
③ 當(dāng) 時， 在 上單調(diào)遞增， 在 上單調(diào)遞減，不合題意．
………………9分
④ 當(dāng) 時， ， 在 上單調(diào)遞減．
當(dāng) 時， ，此時 在 上單調(diào)遞增，由于 在 上單調(diào)遞減，不合題意． ………………11分
當(dāng) 時， ，此時 在 上單調(diào)遞減，由于 在 上單調(diào)遞減，符合題意．
綜上， 的取值范圍是 ． ………………13分
19．（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：依題意，直線 的斜率存在，設(shè)其方程為 ． ………………1分
將其代入 ，整理得 ． ………………3分
設(shè) ， ，所以 ． ………………4分
故點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ．
依題意，得 ， ………………6分
解得 ． ………………7分
（Ⅱ）解：假設(shè)存在直線 ，使得 ，顯然直線 不能與 軸垂直．
由（Ⅰ）可得 ． ………………8分
因為 ，
所以 ，
解得 ， 即 ． ………………10分
因為 △ ∽△ ，
所以 ． ………………11分
所以 ， ………………12分
整理得 ． ………………13分
因為此方程無解，
所以不存在直線 ，使得 ． ………………14分
20．（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：當(dāng) 時，由 ，
得 ，
所以 ． ………………3分
（Ⅱ）證明：設(shè) ， ， ．
因為 ，使 ，
所以 ，使得 ，
所以 ，使得 ，其中 ．
所以 與 同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)． ………………6分
所以
． ………………8分
（Ⅲ）解法一： ．
設(shè) 中有 項為非負(fù)數(shù)， 項為負(fù)數(shù)．不妨設(shè) 時 ； 時， ．
所以
因為 ，
所以 ， 整理得 ．
所以 ．……………10分
因為
；
又 ，
所以
．
即 ． ……………12分
對于 ， ，有 ， ，且 ， ．
綜上， 的最大值為 ． ……………13分
解法二：首先證明如下引理：設(shè) ，則有 ．
證明：因為 ， ，
所以 ，
即 ．
所以
． ……………11分
上式等號成立的條件為 ，或 ，所以 ． ……………12分
對于 ， ，有 ， ，且 ， ．


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