有界磁場(chǎng)是指在局部空間存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電粒子從磁場(chǎng)區(qū)域外垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)經(jīng)歷一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即勻速通過(guò)一段圓弧之后離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域。帶電粒子垂直于磁場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)，由于從磁場(chǎng)邊界進(jìn)入的方向不同，或者磁場(chǎng)區(qū)域邊界條件的不同，造成粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡不一樣。不僅如此，帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)還涉及到幾何知識(shí)、三角函數(shù)知識(shí)、臨界條件等方面的內(nèi)容，所以它所涉及的知識(shí)面廣，要求的能力較高，是高考的難點(diǎn)之一。

　　一、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

　　1、在中學(xué)階段只考慮帶電粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)的情況，所以帶電粒子在有界磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

　　2、洛侖茲力提供粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即 。

　　3、洛侖茲力指向軌跡圓的圓心，用左手定則來(lái)判斷洛侖茲力的方向，即圓心的位置。

　　二、解題時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

　　1、一定要注意磁場(chǎng)的方向和帶電粒子的電性，它們共同決定了帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)方向。

　　2、解決帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)這一類問(wèn)題時(shí)，一定要根據(jù)題目給的已知條件畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，因?yàn)檫@一類問(wèn)題涉及到的幾何知識(shí)、三角函數(shù)知識(shí)較多。

　　3、根據(jù)已知條件確定圓心的方法（如圖1）：帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

　　① 由于洛倫茲力F指向圓心，所以若已知任意兩點(diǎn)（一般為入射點(diǎn)和出射點(diǎn)）的速度方向，根據(jù)F⊥v，作出兩點(diǎn)的速度方向的垂線，交點(diǎn)即為圓心。

　�、� 圓心位置在任意一條弦的中垂線上，故若已知軌跡上的兩點(diǎn)及其中一點(diǎn)的速度方向，則作出兩點(diǎn)的中垂線，它與速度垂線的交點(diǎn)即為圓心。

　　4、根據(jù)已知條件確定半徑的方法：由幾何知識(shí)以及三角函數(shù)規(guī)律求半徑或者由洛侖茲力提供向心力這一規(guī)律來(lái)求半徑。其中我們常用的兩個(gè)幾何規(guī)律是：① 粒子速度的偏角等于粒子做圓周運(yùn)動(dòng)所轉(zhuǎn)過(guò)圓心角； ② 弦切角等于粒子做圓周運(yùn)動(dòng)所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角的一半。

　　5、臨界條件一般是找最大（最�。﹫A心角，一般用的比較多的臨界條件是：① 軌跡圓與磁場(chǎng)邊界相切；② 粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中軌跡上兩點(diǎn)之間的距離不可能超過(guò)2R。

　　三、案例探究

　　［例1］如圖2所示:在一矩形區(qū)域內(nèi),不加磁場(chǎng)時(shí),不計(jì)重力的電子以某一速度垂直左邊界射入,穿過(guò)此區(qū)域的時(shí)間為t。若加上磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、水平向外的磁場(chǎng)，帶電粒子仍以原來(lái)的速度入射，粒子飛出時(shí)偏離原方向

　　θ=600，利用以上數(shù)據(jù)可以求出下列物理量中（      ）

　　A．帶電粒子的比荷。          B．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期。

　　C．帶電粒子的初速度。        D．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑。

　　分析與解答：設(shè)磁場(chǎng)的寬度為L(zhǎng)，則粒子射入的速度v=L/t。由于L未知，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖3，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)半徑，則由幾何關(guān)系可得：粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由于L未知，也無(wú)法求出半徑，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，故可得比荷和粒子運(yùn)動(dòng)的周期 ，所以A、B正確。

　　點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在矩形有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的方向及其速度的偏角，由此根據(jù)圖中的軌跡確定半徑及其圓心。本題運(yùn)用了F⊥v以及速度偏角與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)所轉(zhuǎn)過(guò)圓心角相等這兩個(gè)規(guī)律，再根據(jù)周期、半徑公式得到最終結(jié)果。有界磁場(chǎng)分為矩形和圓形有界磁場(chǎng)兩類，圓形有界磁場(chǎng)如例2：

　�。劾�2］如圖4所示，真空中有一半徑為R的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，圓心為O，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，距O為2R處有一光屏MN，MN垂直于紙面放置，AO過(guò)半徑垂直于屏，延長(zhǎng)線交屏于C。一不計(jì)重力的帶負(fù)電的粒子以初速度 沿AC方向進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，最后打在屏上D點(diǎn)，DC相距 不計(jì)粒子重力，求粒子的比荷及從A到D所用到的時(shí)間。

　　分析與解答：作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示設(shè)粒子從E點(diǎn)射出磁場(chǎng)，然后作勻速直線運(yùn)動(dòng)打在屏上。設(shè)作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，圓心為O'，連結(jié)OO'，則由幾何知識(shí)可得：

　　點(diǎn)評(píng)：此題將圓周運(yùn)動(dòng)與勻速直線運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來(lái)，并且用到了圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)成性：離子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿半徑方向射入則必然沿半徑方向射出，這增大了難度，是考察綜合能力的一道好題。只要畫出軌跡，確定圓心，合理利用幾何關(guān)系，問(wèn)題就迎刃而解了。

　�。劾�3］如圖6所示,一帶正電的質(zhì)子（帶電荷量為e，質(zhì)量為m）以速度 從O點(diǎn)垂直射入，兩個(gè)板間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知兩板間的距離為d，板長(zhǎng)為d，O是板的中點(diǎn)，為使粒子能從兩板間射出，試求磁

　　感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件。

　　分析與解答：如圖7，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的兩條臨界軌跡：一條是剛好從M點(diǎn)射出，另一條是剛好從N點(diǎn)射出，故有：

　�。�1）若從M點(diǎn)射出，則如圖，由幾何知識(shí)有：

　　點(diǎn)評(píng)：此題是對(duì)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界條件的考察，首先找出臨界條件，畫出臨界軌跡，再根據(jù)幾何知識(shí)即可求解。

　　四、鞏固練習(xí)

　　1、如圖所示，真空中狹長(zhǎng)形的區(qū)域內(nèi)分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向內(nèi)，區(qū)域的寬度為d，CD、EF為區(qū)域的邊界．現(xiàn)有一束電子（質(zhì)量為m，電量為e）以速率v從CD側(cè)垂直于磁場(chǎng)與CD成θ角射入，為使電子能從另一側(cè)EF射出，則電子的速率v應(yīng)滿足的條件是____________．

　　2、如圖，足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)�，F(xiàn)從矩形區(qū)域ad的中點(diǎn)O處，垂直磁場(chǎng)射入一速度方向與ad邊夾角為30°，大小為v0的帶電粒子。已知粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，重力影響不計(jì)。

　　（1）試求粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0的大小范圍；

　　（2）問(wèn)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間是多少？

　　3、電量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子在xOy平面上沿著y=a的直線以速度v經(jīng)y軸上的P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到xOy平面上的第一象限內(nèi)．要求在第一象限內(nèi)設(shè)置磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的一個(gè)圓形區(qū)域，使帶電粒子發(fā)生偏轉(zhuǎn)，最后經(jīng)x軸上的M點(diǎn)（xM=2a）射出，且偏轉(zhuǎn)角θ=60°，如圖所示，試求能達(dá)到此目的的最小圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑.

　　4、如圖所示，在x＜0與x ＞0的區(qū)域中，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B1與B2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向均垂直于紙面向里，且B1＞B2。一個(gè)帶負(fù)電荷的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度V沿x軸負(fù)方向射出，要使該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后又經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，B1與B2的比值應(yīng)滿足什么條件？

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