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高一數(shù)學學習：集合大小定義的基本要求十

如果沒有自然數(shù)序結構這個“背景”，我們就只能夠使用一一對應的方法來討論集合的基數(shù)，那種“自然數(shù)的個數(shù)是正偶數(shù)的個數(shù)的兩倍”的直覺只是一種錯覺。比如說考慮下面平面圖上，所有(2n,n)這樣的點所組成的集合(其中n是自然數(shù))。如果站在x軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每隔一列就有一個點，而列數(shù)顯然和自然數(shù)一樣多，所以點數(shù)就該和正偶數(shù)一樣多;如果站在y軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每行都有一個點，而行數(shù)也和自然數(shù)一樣多，所以點數(shù)就該和自然數(shù)一樣多。按照集合基數(shù)的觀點，自然數(shù)和正偶數(shù)一樣多，上面這種情況完全不造成矛盾，但是“直覺”所給予的一會兒“一樣多”一會兒“兩倍”的印象，就沒有太大的意義了(最多得到“兩倍的無窮大等于無窮大”這種我們按照一一對應原則早已熟知，而且解釋得更好的觀點)。

除了序結構外，還有其他的數(shù)學結構。法國著名的布爾巴基學派就認為數(shù)學基于三種母結構：序結構、代數(shù)結構和拓撲結構，各種數(shù)學結構可以混雜在一起得出不同的數(shù)學對象，比如說實數(shù)集上有比較大小的序結構，還有由算術運算(加和乘，減和除是它們的逆運算)定義的代數(shù)結構，以及由極限理論(它規(guī)定了某些點必須在另一些點的“附近”)定義的拓撲結構。布爾巴基學派試圖用結構主義的觀點來統(tǒng)一數(shù)學，出版了著名的《數(shù)學原理》。結構主義的觀點大致來說，就是數(shù)學結構決定數(shù)學對象。兩個分別定義在兩個不同集合上的數(shù)學對象，如果它們的數(shù)學結構相同，那么即使集合中的元素很不相同，它們其實也是同一個數(shù)學對象。在數(shù)學中我們有時會碰到“同構”這個詞，就是指在某種一一映射下，兩個數(shù)學對象的數(shù)學結構相同。

舉一個簡單的例子。中學里我們學過復數(shù)和它的幾何表示法，知道每個復數(shù)都可以對應到直角坐標平面上的一個點，而復數(shù)的加法和乘法也都有各自的幾何意義。在這里，一個復數(shù)是a+bi這樣的一對數(shù)，還是平面上的一個點(a,b)并不是關鍵，盡管一對數(shù)和一個點是完全不同的兩樣東西，只要在實數(shù)對集合和平面點集上面由加法和乘法決定代數(shù)結構是相同的，它們都可稱作是復數(shù)，是同一個數(shù)學對象。相反地，如果我們在平面上定義另一種乘法為(a1, b1)*(a2, b2)=((a1*a2, b1*b2)，那么盡管平面上的點仍舊是那些，但是因為在上面所定義的數(shù)學結構變了，于是就完全是兩種不同的數(shù)學對象了。

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