：5.3實數(shù)與向量的積綜合練習
目的：通過練習使對實數(shù)與積，兩個向量共線的充要條件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用來解決一些簡單的幾何問題。
過程：一、：1．實數(shù)與向量的積 (強調(diào)：“模”與“方向”兩點)
2．三個運算定律（結合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共線的充要條件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其實質(zhì)）
1．當λZ時，驗證：λ( + )=λ +λ
證：當λ=0時，左邊=0•( + )= 右邊=0• +0• = 分配律成立
當λ為正整數(shù)時，令λ=n, 則有：
n( + )=( + )+( + )+…+( + )
= + +…+ + + + +…+ =n +n
即λ為正整數(shù)時，分配律成立
當為負整數(shù)時，令λ=n（n為正整數(shù)），有
n( + )=n[( + )]=n[( )+( )]=n( )+n( )=n +(n )=n n
分配律仍成立
綜上所述，當λ為整數(shù)時，λ( + )=λ +λ 恒成立 。
2．如圖，在△ABC中， = , = AD為邊BC的中線，G為△ABC的重心，求向量
解一：∵ = , = 則 = =
∴ = + = + 而 =
∴ = +
解二：過G作BC的平行線，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
= = = =
= =
∴ = + = +
3．在 ABCD中，設對角線 = ， = 試用 , 表示 ，
解一： = = = =
∴ = + =  = 
= + = + = +
解二：設 = ， =
則 + = + = ∴ = (  )
 =  = = ( + )
即： = (  ) = ( + )
4．設 , 是兩個不共線向量，已知 =2 +k , = +3 , =2  , 若三點A, B, D共線，求k的值。
解： =  =(2  )( +3 )= 4
∵A, B, D共線 ∴ , 共線 ∴存在λ使 =λ
即2 +k =λ( 4 ) ∴ ∴k=8
5．如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分別是DC, AB中點，設 = , = ，試以 , 為基底表示 , ,
解： = = 連ND 則DC?ND
∴ = =  = 
又： = =
∴ =  =  = 
=( + ) = 
6．1kg的重物在兩根細繩的支持下，處于平衡狀態(tài)（如圖），已知兩細繩與水平線分別成30, 60角，問兩細繩各受到多大的力？
解：將重力在兩根細繩方向上分解，兩細繩間夾角為90
=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30
∴ = cos60=1• =0.5 (kg)
= cos30=1• =0.87 (kg)
即兩根細繩上承受的拉力分別為0.5 kg和0.87 kg

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