2018-2019學(xué)年山東省聊城市臨清市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．（3分）cos60°的值等于（　　）
A．  B．1 C．  D．
2．（3分）下列說法正確的是（　�。�
A．矩形都是相似圖形
B．菱形都是相似圖形
C．各邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形
D．等邊三角形都是相似三角形
3．（3分）如圖，已知P是△ABC邊AB上的一點(diǎn)，連接CP．以下條件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　�。�
 
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．AC2=AP•AB D．  =
4．（3分）如圖，∠O=30°，C為OB上一點(diǎn)，且OC=8，以點(diǎn)C為圓心，半徑為4的圓與直線OA的位置關(guān)系是（　�。�
 
A．相離 B．相交
C．相切 D．以上三種情況均有可能
5．（3分）已知sinA= ，且∠A為銳角，則tanA=（　　）
A．  B．  C．  D．
6．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，則∠BAD為（　　）
 
A．30° B．50 ° C．60° D．70°
7．（3分）如圖，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，則CD的長為（　　）
 
A．  B．  C．2 D．3
8．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD垂直相交于點(diǎn)E，連結(jié)AC，OC，若∠A=30°，OC=4，則弦CD的長是（　�。�
 
A．  B．4 C．  D．8
9．（3分）如圖，△ABC中，DE∥BC，  = ，則OE：OB=（　�。�
 
A．  B．  C．  D．
10．（3分）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　�。�
 
A．  B．  C．  D．
11．（3分）如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)了108°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒有摩擦，則重物上升了（　　）
 
A．5πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm
12．（3分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=（　　）
 
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
　
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
13．（3分）如圖，⊙O中， 的度數(shù)為40°，則圓周角∠MA N的度數(shù)是　   �。�
 
14．（3分）如圖，一山坡的坡度為i=1： ，小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點(diǎn)B，則小辰上升了　   　米．
 
15．（3分）已知扇形的圓心角為120°，面積為12π，則扇形的半徑是　   　．
16．（3分）如圖，小量角器的0°刻度線在大量角器的0°刻度線上，且小量角器的中心在大量角器的外緣邊上．如果它們外緣邊上的公共點(diǎn)P在大量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為40°，那么在小量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為　   �。�（只考慮小于90°的角度）
 
17．（3分）如圖，在△ABC中，正方形EFGH的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)G、H分別在AC，AB上，BC=15cm，BC邊上的高是10cm，則正方形的面積為　   �。�
 
　
三、解答題（本大題共8小題，共69分）
18．（8分）計(jì)算：
（1）2cos30°+tan60°?2tan45°•tan60°
（2）sin245°? tan30°．
19．（7分）如圖，在坐標(biāo)系的第一象限建立網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都為1，格點(diǎn)△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，4）、B（0，2）、C（4，4）．
（1）若△ABC外接圓的圓心為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　   �。�
（2）以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，在網(wǎng)格中畫一個(gè)格點(diǎn)△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比為1：2．（畫出符合要求的一個(gè)三角形即可）
 
20．（8分）如圖，已知AB∥FD，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在DC的延長線上，且∠AEB=∠F．
（1）求證：△ABE∽△ECF；　
（2）若AB=5，CE=6，BE=2，求FC的長．
 
21．（8分）如圖，ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，BC是圓O的直徑，∠ACB=20°，D為 的中點(diǎn)，求∠DAC的度數(shù)．
 
22．（8分）如圖，我市某中學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)要測量海河某段流域的寬度，小宇同學(xué)在A處觀測對(duì)岸C點(diǎn)，測得∠CAD=45°，小英同學(xué)在距A處188米遠(yuǎn)的B處測得∠C BD=30°，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算出這段流域的河寬和BC的長．
（結(jié)果精確到1m）
 
23．（8分）如圖，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點(diǎn) F．
（1）求證：BD=BF；  
（2）若 EF=6，CF=3，求⊙O的半徑長．
 
24．（10分）如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開 始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)△QBP與△ABC相似？
 
25．（12分）某住宅小區(qū)將現(xiàn)有一塊三角形的綠化地改造為一塊圓形的綠化地如圖1．已知原來三角形綠化地中道路AB長為16 米，在點(diǎn)B的拐彎處道路AB與BC所夾的∠B為45°，在點(diǎn)C的拐彎處道路AC與BC所夾的∠C的正切值為2（即tan∠C=2），如圖2．
（1）求拐彎點(diǎn)B與C之間的距離；
（2）在改造好的圓形（圓O）綠化地中，這個(gè)圓O過點(diǎn)A、C，并與原道路BC交于點(diǎn)D，如果點(diǎn)A是圓弧（優(yōu)�。┑缆稤C的中 點(diǎn)，求圓O的半徑長．
 
　
 

2018-2019學(xué)年山東省聊城市臨清市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．（3分）cos60°的值等于（　　）
A．  B．1 C．  D．
【解答】解：cos60°= ，
故選：D．
　
2．（3分）下列說法正確的是（　　）
A．矩形都是相似圖形
B．菱形都是相似圖形
C．各邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形
D．等邊三角形都是相似三角形
【解答】解：A、正方形是特殊的矩形，所以矩形不都是相似圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、菱形的內(nèi)角度數(shù)不定，所以菱形不都是相似圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、菱形和正方形可以滿足邊長對(duì)應(yīng)成比例，但不是相似圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、等邊三角形都是相似三角形，故本選項(xiàng)正確．
故選D．
　
3．（3分）如圖 ，已知P是△ABC邊AB上的一點(diǎn)，連接CP．以下條件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　�。�
 
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．AC2=AP•AB D．  =
【解答】解：∵∠ACP=∠B，∠CAP=∠BAC，
∴△ACP∽△ABC，故選項(xiàng)A正確；
∵∠APC=∠ACB，∠CAP=∠BAC，
∴△ACP∽△ABC，故選項(xiàng)B正確；
∵AC2=AP•AB，
∴ ，
又∵∠CAP=∠BAC，
∴△ACP∽△ABC，故選項(xiàng)C正確；
∵ ，
但未說明∠ACP=∠ABC，
∴不能判斷△ACP∽△ABC，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選D．
　
4．（3分）如圖，∠O=30°，C為OB上一點(diǎn)，且OC=8，以點(diǎn)C為圓心，半徑為4的圓與直線OA的位置關(guān)系是（　�。�
 
A．相離 B．相交
C．相切 D．以上三種情況均有可能
【解答】解：
∵∠O=30°，OC=8，
∴CD=OC=4，
∵⊙C的半徑為4，
∴d=r，
∴⊙C和OA的位置關(guān)系是相切．
故選C．
　
5．（3分）已知sinA= ，且∠A為銳角，則tanA=（　�。�
A．  B．  C．  D．
【解答】解：cosA= = ，
tanA= = ，
故選：C．
　
6．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，則∠BAD為（　�。�
 
A．30° B．5 0° C．60° D．70°
【解答】解：連接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°?∠ABD=60°．
故選C．
 
　
7．（3分）如圖，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，則CD的長為（　　）
 
A．  B．  C．2 D．3
【解答】解：∵∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，
∴△ABD∽△BDC，
∴ = ，即 = ，
解得CD= ．
故選B．
　
8．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD垂直相交于點(diǎn)E，連結(jié)AC，OC，若∠A=30°，OC=4，則弦CD的長是（　�。�
 
A．  B．4 C．  D．8
【解答】解：由圓周角定理得，∠COB=2∠A=60°，
∴CE=OC•sin∠COE=4× =2 ，
∵AE⊥CD，
∴CD=2CE=4 ，
故選：C．
　
9．（3分）如圖，△ABC中，DE∥BC，  = ，則OE：OB=（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，
又∵ = ，
∴ = = ，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OCB，
∴ = = ，
故選：B．
 
　
10．（3分）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【解答】解：設(shè)各個(gè)小正方形的邊長為1，則已知的三角形的各邊分別為 ，2， ，
A、因?yàn)槿�邊分別為： ， ，3，三邊不能與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似；
B、因?yàn)槿�邊分別為：1， ， ，三邊與已知三角形的各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形相似；
C、因?yàn)槿�邊分別為：1，2 ， 三邊不能與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似；
D、因?yàn)槿�邊分另為�?， ， ，三邊不能與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似，
故選：B．
　
11．（3分）如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)了108°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒有摩擦，則重物上升了（　　）
 
A．5πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm
【解答】解：  =3π，
所以重物上升了3πcm．
故選B．
　
12．（3分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=（　�。�
 
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：4，
∴設(shè)△BDE的面積為a，則△CDE的面積為4a，
∵△BDE和△CDE的點(diǎn)D到BC的距離相等，
∴ = ，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：25，
∴S△ACD=25a?a?4a=20a，
∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．
故選：C．
　
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
13．（3分）如圖，⊙O中， 的度數(shù)為40°，則圓周角∠MAN的度數(shù)是　20°　．
 
【解答】解：連接OM、ON，
∵ 的度數(shù)為40 °，
∴∠MON=40°，
∴∠MAN=20°，
故答案為：20°．
 
　
14．（3分）如圖，一山坡的坡度為i=1： ，小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點(diǎn)B，則小辰上升了　100　米．
 
【解答】解：根據(jù)題意得tan∠A= = = ，
所以∠A=30°，
所以BC= AB= ×200=100（m）．
故答案為100．
　
15．（3分）已知扇形的圓心角為120°，面積為12π，則扇形的半徑是　6�。�
【解答】解：根據(jù)扇形的面積公式，得
R= = =6，
故答案為6．
　
16．（3分）如圖，小量角器的0°刻度線在大量角器的0°刻度線上，且小量角器的中心在大量角器的外緣邊上．如果它們外緣邊上的公共點(diǎn)P在大量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為40°，那么在小量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為　70°�。�（只考慮小于90°的角度）
 
【解答】解：設(shè)大量角器的左端點(diǎn)是A，小量角器的圓心是B，連接AP，BP，則∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°?20°=70°，在小量角器中弧PB所對(duì)的圓心角是70°，因而P在小量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為 70°．
故答案為：70°；
 
　
17．（3分）如圖，在△ABC中，正方形EFGH 的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)G、H分別在AC，AB上，BC=15cm，BC邊上的高是10cm，則正方形的面積為　36cm2　．
 
【解答】解：設(shè)AD與HG交點(diǎn)為M，正方形EFGH的邊長為xcm，則AM=10?x（cm），
∵四邊形EFGH為正方形，
∴HG∥BC，
∴ = ，
即 = ，解得x=6，
∴正方形的面積為36cm2，
故答案為：36cm2．
　
三、解答題（本大題共8小題，共69分）
18．（8分）計(jì)算：
（1）2cos30°+tan60°?2tan45°•tan60°
（2）sin245°? tan30°．
【解答】解：（1）原式=2× + ?2×
=0；

（2）原式=（ ）2? ×
= ?1
=? ．
　
19．（7分）如圖，在坐標(biāo)系的第一象限建立網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都為1，格點(diǎn)△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，4）、B（0，2）、C（4，4）．
（1）若△ABC外接圓的圓心為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為�。�3，1）�。�
（2）以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，在網(wǎng)格中畫一個(gè)格點(diǎn)△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比為1：2．（畫出符合要求的一個(gè)三角形即可）
 
【解答】解：（1）如圖，
 
點(diǎn)P即為所求，其坐標(biāo)為（3 ，1），
故答案為：（3，1）；

（2）如圖，△DEF即為所求三角形．
　
20．（8分）如圖，已知AB∥FD，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在DC的延長線上，且∠AEB=∠F．
（1）求證：△ABE∽△ECF；　
（2）若AB=5，CE=6，BE=2，求FC的長．
 
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠2．
∵∠AEB=∠F，
∴△ABE∽△ECF．

（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴ = ，
∴ = ，
∴CF= ．
　
21．（8分）如圖，ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，BC是圓O的直徑，∠ACB=20°，D為 的中點(diǎn)，求∠DAC的度數(shù)．
 
【解答】解：∵BC為圓O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠B=90°?200=700．
∵四邊形ABCD為圓O內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=110°．
因?yàn)镈為弧AC中點(diǎn)，
∴ = ，
∴∠DAC=35° ．
　
22．（8分）如圖，我市某中學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)要測量海河某段流域的寬度，小宇同學(xué)在A處觀測對(duì)岸C點(diǎn)，測得∠CAD=45°，小英同學(xué)在距A處188米遠(yuǎn)的B處測得∠CBD=30°， 根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算出這段流域的河寬和BC的長．
（結(jié)果精確到1m）
 
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB，e
設(shè)CE=x，
在Rt△ACE中，∠CAE=45°，
∴AE=CE=x，
在Rt△BCE中，∵∠CAE=30°，
∴BE= CE= x，BC=2x，
∵AB=188，
∴BE?AE= x?x=188，
∴x= ≈257m，
∴CE=257m，BC=2x=514m，
即：這段流域的河寬為257m，BC的長為514m；
 
　
23．（8分）如圖，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點(diǎn) F．
（1）求證：BD=BF；  
（2）若 EF=6，CF=3，求⊙O的半徑長．
 
【解答】（1）證明：
如圖1，連接OE，
 
∵AC是⊙O的切線，
∴OE⊥AC，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠OED=∠F，
∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODF=∠F，
∴BD=BF；
（2）解：
如圖2，連接BE，
∵BD為⊙O的直徑，
∴BE⊥DF，
∴DE=EF=6，
 
∵CF=3，EF=6，
∴cos∠F= = = ，
∴∠F=60°，
又由（1）可知BD=BF，
∴△BDF為等邊三角形，
∴BD=DF=12，
∴⊙O的半徑為6．
　
24．（10分）如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)△QBP與△ABC相似？
 
【解答】解：設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，以△QBC與△ABC相似，則AP=2t，BP=8?2t，BQ=4t，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴當(dāng) = 時(shí)，△BPQ∽△BAC，即 = ，解得t=2（s）；
當(dāng) = 時(shí)，△BPQ∽△BCA，即 = ，解得t=0.8（s）；
即經(jīng)過2秒或0.8秒時(shí)，△QBC與△ABC相似．
　
25．（12分）某住宅小區(qū)將現(xiàn)有一塊三角形的綠化地改造為一塊圓形的綠化地如圖1．已知原來三角形綠化地中道路AB長為16 米，在點(diǎn)B的拐彎處道路AB與BC所夾的∠B為45°，在點(diǎn)C的拐彎處道路AC與BC所夾的∠C的正切值為2（即tan∠C=2），如圖2．
（1）求拐彎點(diǎn)B與C之間的距離；
（2）在改造好的圓形（圓O）綠化地中，這個(gè)圓O過點(diǎn)A、C，并與原道路BC交于點(diǎn)D，如果點(diǎn)A是圓�。▋�(yōu)弧）道路DC的中點(diǎn)，求圓O的半徑長．
 
【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴AE=AB•sin45°=16 × =16，
∴BE=AE=16，
∵tan∠C=2，
∴ =2，
∴EC==8，
∴BC=BE+EC=16+8=24；
（2）連接AD，
∵點(diǎn)A是圓�。▋�(yōu)�。┑缆� DC的中點(diǎn)，
∴∠ADC=∠C，
∴AD=AC，
∴AE垂直平分DC，
∴AE經(jīng)過圓心，
設(shè)圓O的半徑為r，
∴OE=16?r，
在RT△OEC中，OE2+EC2=OC2，
即（16?r）2+82=r2，
解得r=10，
∴圓O的半徑為10．

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