達州市2013年高中階段教育學校招生統(tǒng)一考試數(shù) 學本試卷分為第I卷()和第II卷(非)兩部分。第I卷1至2頁,第II卷3至10頁?荚嚂r間120分鐘,滿分120分。第I卷(選擇題,共30分)溫馨提示:1、答第I卷前,請考生務(wù)必將姓名、準考證號、考試科目等按要求填涂在機讀卡上。2、每小題選出正確答案后,請用2B鉛筆把機讀卡上對應(yīng)題號的答案標號涂黑。3、考試結(jié)束后,請將本試卷和機讀卡一并交回。一.選擇題:(本題10個小題,每小題3分,共30分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.-2013的絕對值是( )A.2013 B.-2013 C.±2013 D. 答案:A解析:負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),故選A。2.某中學在蘆山地震捐款活動中,共捐款二十一萬三千元。這一數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為( )A. 元 B. 元 C. 元 D. 元答案:C解析:科學記數(shù)法寫成: 形式,其中 ,二十一萬三千元=213000= 元3.下列圖形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是( )答案:D解析:A、C只是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形;B是中心對稱圖形,不是軸對稱軸圖形,只有D符合。4.甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價相同的商品,甲超市先降價20%,后又降價10%;乙超市連續(xù)兩次降價15%;丙超市一次降價30%。那么顧客到哪家超市購買這種商品更合算(。A.甲 B.乙 C.丙 D.一樣答案:C解析:設(shè)原價a元,則降價后,甲為:a(1-20%)(1-10%)=0.72a元,乙為:(1-15%)2a=0.7225a元,丙為:(1-30%)a=0.7a元,所以,丙最便宜。5.下面是一天中四個不同時刻兩座建筑物的影子,將它們按時間先后順序正確的是( )A.(3)(1)(4)(2) B.(3)(2)(1)(4) C.(3)(4)(1)(2) D.(2)(4)(1)(3)答案:C解析:因為太陽從東邊出來,右邊是東,所以,早上的投影在左邊,(3)最先,下午的投影在右邊,(2)最后,選C。6.若方程 有兩個不相等的實數(shù)根,則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是(。
答案:B解析:因為方程有兩個不相等的實數(shù)根,所以,△=36-12>0,得<3,故選B。7.下列說法正確的是( )A.一個游戲中獎的概率是 ,則做100次這樣的游戲一定會中獎B.為了了解全國中學生的心理健康狀況,應(yīng)采用普查的方式C.一組數(shù)據(jù)0,1,2,1,1的眾數(shù)和中位數(shù)都是1D.若甲組數(shù)據(jù)的方差 ,乙組數(shù)據(jù)的方差 ,則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定答案:C解析:由概率的意義,知A錯;全國中學生較多,應(yīng)采用抽樣調(diào)查,故B也錯;經(jīng)驗證C正確;方差小的穩(wěn)定,在D中,應(yīng)該是甲較穩(wěn)定,故D錯。8.如圖,一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD的圓心),其中CD=600米,E為弧CD上一點,且OE⊥CD,垂足為F,OF= 米,則這段彎路的長度為( )A.200π米 B.100π米C.400π米 D.300π米答案:A解析:CF=300,OF= ,所以,∠COF=30°,∠COD=60°,OC=600,因此,弧CD的長為: =200π米9.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,點D在BC上,以AC為對角線的所有□ADCE中,DE最小的值是( )A.2 B.3C.4 D.5答案:B解析:由勾股定理,得AC=5,因為平行邊形的對角線互相平分,所以,DE一定經(jīng)過AC中點O,當DE⊥BC時,DE最小,此時OD= ,所以最小值DE=310.二次函數(shù) 的圖象如圖所示,反比例函數(shù) 與一次函數(shù) 在同一平面直角坐標系中的大致圖象是( )答案:B解析:由二次函數(shù)圖象,知a<0,c>0, >0,所以,b>0,所以,反比例函數(shù)圖象在一、三象限,排除C、D,直線y=cx+a中,因為a<0,所以,選B。
第II卷(非選擇題,共90分)二.題:(本題6個小題,每小題3分,共18分。把最后答案直接填在題中的橫線上)11.分解因式: =_ _.答案:x(x+3)(x-3)解析:原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3)12.某校在今年“五•四”開展了“好書伴我成長”的讀書活動。為了解八年級450名學生的讀書情況,隨機調(diào)查了八年級50名學生本學期讀書冊數(shù),并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)制成了扇形統(tǒng)計圖,則該校八年級學生讀書冊數(shù)等于3冊的約有 名。答案:162解析:讀書冊數(shù)等于3的約占比例:1-6%-24%-30%-6%=36%,36%×450=162
13.點 、 在反比例函數(shù) 的圖象上,當 時, ,則k的取值可以是___ _(只填一個符合條件的k的值).答案:-1解析:由題知,y隨x的增大而增大,故k是負數(shù),此題答案不唯一。14.如果實數(shù)x滿足 ,那么代數(shù)式 的值為_ _.答案:5解析:由知,得 =3,原式= =5。15.如圖,折疊矩形紙片ABCD,使B點落在AD上一點E處,折痕的兩端點分別在AB、BC上(含端點),且AB=6,BC=10。設(shè)AE=x,則x 的取值范圍是 .答案:2≤x≤6解析:如圖,設(shè)AG=y(tǒng),則BG=6-y,在Rt△GAE中,x2+y2=(6-y)2,即 ( ,當y=0時,x取最大值為6;當y= 時,x取最小值2,故有2≤x≤616.如圖,在△ABC中,∠A=°,∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1,得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2,得∠A2;…∠A2012BC和∠A2012CD的平分線交于點A2013,則∠A2013= 度。 答案: 解析:∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD,∴∠ACD=k∠A1CD,∠ABC=2∠A1BC,而∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∠ACD=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠A1,∴∠A1= ,同理可得∠A1=2∠A2,即∠A=22∠A2,∴∠A2= ,所以,猜想:∠A2013= 三.解答題(72分,解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)(一)(本題2個小題,共13分)17.(6分)計算: 解析:原式=1+2 - +9=10+
18.(7分)釣魚島自古以來就是中國領(lǐng)土。中國有關(guān)部門已對釣魚島及其附屬島嶼開展常態(tài)化監(jiān)視監(jiān)測。如圖,E、F為釣魚島東西兩端。某日,中國一艘海監(jiān)船從A點向正北方向巡航,其航線距離釣魚島最近距離CF= 公里,在A點測得釣魚島最西端F在最東端E的東北方向(C、F、E在同一直線上)。求釣魚島東西兩端的距離。( , ,結(jié)果精確到0.1)解析:由題知,在Rt△ACF中,∠ACF=90°,∠A=30°,CF=20 公里.∴cot30°= .解得,AC=60(公里).………………………(2分)又∵E在B的東北方向,且∠ACF=90°∴∠E=∠CBE=45°,∴CE=CB.………………………………………………(4分)又∵CB=AC-AB=60-22=38(公里),∴CE=38公里.………………………(5分)∴EF=CE-CF=38-20 ≈3.4(公里)………………………(6分)答:釣魚島東西兩端的距離約為3.4公里.………………………(7分)
(二)(本題2個小題,共14分)19.(7分)已知 ,則……已知 ,求n的值。解析:由題知f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)= + + +…+ =1- + - + - +…+ - =1- ………………………(4分)= .………………………(4分)又∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)= ,∴ = .解得n=14.………………………(6分)經(jīng)檢驗,n=14是上述方程的解.故n的值為14.………………………(7分)
20.(7分)某中學舉行“中國夢•我的夢”演講比賽。志遠班的班長和學習委員都想去,于是老師制作了四張標有算式的卡片,背面朝上洗勻后,先由班長抽一張,再由學習委員在余下三張中抽一張。如果兩張卡片上的算式都正確,班長去;如果兩張卡片上的算式都錯誤,學習委員去;如果兩張卡片上的算式一個正確一處錯誤,則都放回去,背面朝上洗勻后再抽。
這個游戲公平嗎?請用樹狀圖或列表的方法,結(jié)合概率予以說明。解析:公平.………………………(1分)用列表法或樹狀圖列出該事件的等可能情況如下:由此可知該事件共有12種等可能結(jié)果.………………………(4分)∵四張卡片中,A、B中的算式錯誤,C、D中的算式正確,∴都正確的有CD、DC兩種,都錯誤的有AB、BA兩種.………………………(5分)∴班長去的概率P(班長去)= = ,學習委員去的概率P(學習委員去)= = ,P(班長去)=P(學習委員去)∴這個游戲公平.………………………(7分)
(三)(本題2個小題,共16分)21.(8分)已知反比例函數(shù) 的圖象與一次函數(shù) 的圖象交于A 、B 兩點,連結(jié)AO。(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式;(2)設(shè)點C在y軸上,且與點A、O構(gòu)成等腰三角形,請直接寫出點C的坐標。解析:(1)∵y= 的圖像過點( ,-3),∴k1=3xy=3× ×(-3)=-3.∴反比例函數(shù)為y .………………………(1分)∴a= =1,∴A(-1,1).………………………(2分)∴ 解得 ∴一次函數(shù)為y=-3x-2.………………………(4分)16、C(0, )、………………………(5分)或(0,- )、………………………(6分)或(0,1)、………………………(7分)或(0,2).………………………(8分)
22.(8分)選取二次三項式 中的兩項,配成完全平方式的過程叫配方。例如①選取二次項和一次項配方: ;②選取二次項和常數(shù)項配方: , 或 ③選取一次項和常數(shù)項配方: 根據(jù)上述材料,解決下面問題:(1)寫出 的兩種不同形式的配方;(2)已知 ,求 的值。解析::(1) =x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12或 =(x-2)2-4x(2) X=-1,y=2.因此xy=(-1)2=1
(四)(本題2個小題,共17分)23.(8分)今年,6月12日為端午節(jié)。在端午節(jié)前夕,三位同學到某超市調(diào)研一種進價為2元的粽子的銷售情況。請根據(jù)小麗提供的信息,解答小華和小明提出的問題。(1)小華的問題解答:解析:(1)解:設(shè)實現(xiàn)每天800元利潤的定價為x元/個,根據(jù)題意,得(x-2)(500- ×10)=800 .………………………(2分)整理得:x2-10x+24=0.解之得:x1=4,x2=6.………………………(3分)∵物價局規(guī)定,售價不能超過進價的240%,即2×240%=4.8(元).∴x2=6不合題意,舍去,得x=4.答:應(yīng)定價4元/個,才可獲得800元的利潤.………………………(4分)(2)解:設(shè)每天利潤為W元,定價為x元/個,得W=(x-2)(500- ×10)=-100x2+1000x-1600=-100(x-5)2+900.………………………(6分)∵x≤5時W隨x的增大而增大,且x≤4.8,∴當x=4.8 時,W最大,W最大=-100×(4.8-5)2+900=896>800 .………………………(7分)故800元不是最大利潤.當定價為4.8元/個時,每天利潤最大.………………………(8分)
24.(9分)通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達到解一題知一類的目的。下面是一個案例,請補充完整。FF原題:如圖1,點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說明理由。(1)思路梳理∵AB=CD,∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合。∵∠ADC=∠B=90°,∴∠FDG=180°,點F、D、G共線。根據(jù)__SAS__________,易證△AFG≌_△AFE_______,得EF=BE+DF。(2)類比引申如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角,則當∠B與∠D滿足等量關(guān)系_互補___時,仍有EF=BE+DF。(3)聯(lián)想拓展如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系,并寫出推理過程。 解:BD2+EC2=DE2
解析:(1)SAS………………………(1分) △AFE………………………(2分)(2)∠B+∠D=180°………………………(4分)(3)解:BD2+EC2=DE2.………………………(5分)∵AB=AC,∴把△ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG,可使AB與AC重合.∵△ABC中,∠BAC=90°.∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.∴EC2+CG2=EG2.………………………(7分)在△AEG與△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,又∵AD=AG,AE=AE,∴△AEG≌△AED.∴DE=EG.又∵CG=BD,∴BD2+EC2=DE2.………………………(9分)
(五)(本題12分)25.如圖,在直角體系中,直線AB交x軸于點A(5,0),交y軸于點B,AO是⊙的直徑,其半圓交AB于點C,且AC=3。取BO的中點D,連接CD、D和OC。(1)求證:CD是⊙的切線;(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D、、A,其對稱軸上有一動點P,連接PD、P,求△PD的周長最小時點P的坐標;(3)在(2)的條件下,當△PD的周長最小時,拋物線上是否存在點Q,使 ?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由。解析:(1)證明:連結(jié)C.∵OA 為⊙直徑,∴∠OCA=90°.∴∠OCB=90°.∵D為OB中點,∴DC=DO.∴∠DCO=∠DOC.………………………(1分)∵O=C,∴∠CO=∠OC.………………………(2分)∴∠DC=∠DCO+∠CO=∠DOC+∠OC=∠DO=90°.………………………(3分)又∵點C在⊙上,∴DC是⊙的切線.………………………(4分)(2)解:在Rt△ACO中,有OC= .又∵A點坐標(5,0), AC=3,∴OC= =4.∴tan∠OAC= .∴ .解得 OB= .又∵D為OB中點,∴OD= . D點坐標為(0, ).………………………(5分)連接AD,設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,則有j解得 ∴直線AD為y=- x+ .∵二次函數(shù)的圖象過( ,0)、A(5,0),∴拋物線對稱軸x= .………………………(6分)∵點、A關(guān)于直線x= 對稱,設(shè)直線AD與直線x= 交于點P,∴PD+P為最小.又∵D為定長,∴滿足條件的點P為直線AD與直線x= 的交點.………………………(7分)當x= 時,y=- + = .故P點的坐標為( , ).………………………(8分)(3)解:存在.∵S△PD=S△DA-S△PA= A•yD- A•yP= A(yD-yp).S△QA= A• ,由(2)知D(0, ),P( , ),∴ ×( - )=yQ 解得yQ=± ………………………(9分)∵二次函數(shù)的圖像過(0, )、A(5,0),∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x- )(x-5).又∵該圖象過點D(0, ),a×(- )×(-5)= ,a= .∴y= (x- )(x-5).………………………(10分)又∵C點在拋物線上,且yQ=± ,∴ (x- )(x-5)=± .解之,得x1= ,x2= ,x3= .∴點Q的坐標為( , ),或( , ),或( ,- ).…………(12分)
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