42、（2013•欽州壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y= x2+2x與x軸相交于O、B，頂點為A，連接OA．
（1）求點A的坐標(biāo)和∠AOB的度數(shù)；
（2）若將拋物線y= x2+2x向右平移4個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線，其頂點為點C．連接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′．試判斷其形狀，并說明理由；
（3）在（2）的情況下，判斷 點C′是否在拋物線y= x2+2x上，請說明理由；
（4）若點P為x軸上的一個動點，試探究在拋物線上是否存在點Q，使以點O、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，且OC為該四邊形的一條邊？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

考點：二次函數(shù)綜合題．3718684
專題：探究型．
分析：（1）由y= x2+2x得，y= （x?2）2?2，故可得出拋物線的頂點A的坐標(biāo)，令 x2+2x=0得出點B的坐標(biāo)過點A作AD⊥x軸，垂足為D，由∠ADO=90°可知點D的坐標(biāo)，故可得出OD=AD，由此即可得出結(jié)論；
（2）由題意可知拋物線的二次項系數(shù)為 ，由此可得拋物線的解析式過點C作CE⊥x軸，垂足為E；過點A作AF⊥CE，垂足為F，與y軸交與點H，根據(jù)勾股定理可求出OC的長，同理可得AC的長，OC=AC，由翻折不變性的性質(zhì)可知，OC=AC=OC ′=AC′，由此即可得出結(jié)論；
（3）過點C′作C′G⊥x軸，垂足為G，由于OC和OC′關(guān)于OA對稱，∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根據(jù)CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG，根據(jù)全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出點C′的坐標(biāo)把x=?4代入拋物線y= x2+2x進(jìn)行檢驗即可得出結(jié)論；
（4）由于點P為x軸上的一個動點，點Q在拋物線上， 故設(shè)Q（a， （a?2）2?4），由于OC為該四邊形的一條邊，故OP為對角線，由于點P在x軸上，根據(jù)中點坐標(biāo)的定義即可得出a的值，故可得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵由y= x2+2x得，y= （x?2）2?2，
∴拋物線的頂點A的坐標(biāo)為（?2，?2），
令 x2+2x=0，解得x1=0，x2=?4，
∴點B的坐標(biāo)為（?4，0），
過點A作AD⊥x軸，垂足為D，
∴∠ADO=90°，
∴點A的坐標(biāo)為（?2，?2），點D的坐標(biāo)為（?2，0），
∴OD=AD=2，
∴∠AOB=45°；

（2）四邊形ACOC′為菱形．
由題意可知拋物線的二次項系數(shù)為 ，且過頂點C的坐標(biāo)是（2，?4），
∴拋物線的解析式為：y= （x?2）2?4，即y= x2?2x?2，
過點C作CE⊥x軸，垂足為E；過點A作AF⊥CE，垂足為F，與y軸交與點H，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE?EF=2，
∴OC= = =2 ，
同理，AC=2 ，OC=AC，
由反折不變性的性質(zhì)可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四邊形ACOC′為菱形．

（3）如圖1，點C′不在拋物線y= x2+2x上．
理由如下：
過點C′作C′G⊥x軸，垂足為G，
∵OC和OC′關(guān)于OA對稱，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，
∵CE∥OH，
∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，
∴OG=4，C′G=2，
∴ 點C′的坐標(biāo)為（?4，2），
把x=?4代入拋物線y= x2+2x得y=0，
∴點C′不在拋物線y= x2+2x上；

（4）存在符合條件的點Q．
∵點P為x軸上的一個動點，點Q在拋物線上，
∴設(shè)Q（a， （a?2）2?4），
∵OC為該四邊形的一條邊，
∴OP為對角線，
∴ =0，解得x1=6，x2=4，
∴P（6，4）或（?2，4）（舍去），
∴點Q的坐標(biāo)為（6，4）．


點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到拋物線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，難度適中．
43、（2013安順壓軸題）如圖，已知拋物線與x軸交于A（?1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）點是拋物線上一點，以B，C，D，為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點的坐標(biāo)．

考點：二次函數(shù)綜合題．
專題：壓軸題．
分析：（1）由于A（?1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點均在坐標(biāo)軸上，故設(shè)一般式解答和設(shè)交點式（兩點式）解答均可．
（2）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合拋物線解析式即可求解．
（3）根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)特點，利用勾股定理求出相關(guān)邊長，再利用勾股定理的逆定理判斷出直角梯形中的直角，便可解答．
解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于點C（0，3），
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3（a≠0），
根據(jù)題意，得 ，
解得 ，
∴拋物線的解析式為y=?x2+2x+3．
（2）存在．
由y=?x2+2x+3得，D點坐標(biāo)為（1，4），對稱軸為x=1．
①若以CD為底邊，則PD=PC，
設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)兩點間距離公式，
得x2+（3?y）2=（x?1）2+（4?y）2，
即y=4?x．
又P點（x，y）在拋物線上，
∴4?x=?x2+2x+3，
即x2?3x+1=0，
解得x1= ，x2= ＜1，應(yīng)舍去，
∴x= ，
∴y=4?x= ，
即點P坐標(biāo)為 ．
②若以CD為一腰，
∵點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關(guān)于直線x=1對稱，
此時點P坐標(biāo)為（2，3）．
∴符合條件的點P坐標(biāo)為 或（2，3）．
（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理，
得CB= ，CD= ，BD= ，
∴CB2+CD2=BD2=20，
∴∠BCD=90°，
設(shè)對稱軸交x軸于點E，過C作C⊥DE，交拋物線于點，垂足為F，在Rt△DCF中，
∵CF=DF=1，
∴∠CDF=45°，
由拋物線對稱性可知，∠CD=2×45°=90°，點坐標(biāo)為（2，3），
∴D∥BC，
∴四邊形BCD為直角梯形，
由∠BCD=90°及題意可知，
以BC為一底時，頂點在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；
以CD為一底或以BD為一底，且頂點在拋物線上的直角梯形均不存在．
綜上所述，符合條件的點的坐標(biāo)為（2，3）．

點評：此題是一道典型的“存在性問題”，結(jié)合二次函數(shù)圖象和等腰三角形、等腰梯形的性質(zhì)，考查了它們存在的條件，有一定的開放性．　

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