來(lái)

單元檢測(cè)四　圖形初步與三角形
(時(shí)間：120分鐘　總分：120分)
一、(每小題3分，共30分)
1．如圖所示，l∥，等腰直角△ABC的直角頂點(diǎn)C在直線上，若∠β＝20°，則∠α的度數(shù)為(　　)

A．25° B．30° C．20° D．35°
2．如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于點(diǎn)C，若∠ECO＝30°，則∠DOT等于(　　)

A．30° B．45° C．60° D．120°
3．平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線，若平面上不同的n個(gè)點(diǎn)最多可確定21條直線，則n的值為(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，E是∠AOD內(nèi)一點(diǎn)，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，則∠COE的度數(shù)是(　　)

A．125° B．135° C．145° D．155°
5．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，則tan A的值為(　　)

A．2 B．12 C．55 D．255
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分別是△ABC，△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有(　　)

A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)
7．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，CD＝4，則線段DF的長(zhǎng)度為(　　)

A．22 B．4 C．32 D．42
8．如圖，等腰△ABC的周長(zhǎng)為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則△BEC的周長(zhǎng)為(　　)

A．13 B．14 C．15 D．16
9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB＝13，CD＝6，則AC＋BC等于(　　)

A．5 B．513 C．1313 D．95
10．如圖，在等邊△ABC中，AC＝9，點(diǎn)O在AC上，且AO＝3，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD．要使點(diǎn)D恰好落在BC上， 則AP的長(zhǎng)是(　　)

A．4 B．5 C．6 D．8
二、題(每小題3分，共24分)
11．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A＝__________.

12．如圖，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可補(bǔ)充的條件是__________(寫出一個(gè)即可)．

13．如圖，∠ABC＝50°，AD垂直平分線段BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)E，連 接EC， 則∠AEC的度數(shù)是__________．
　　
14．邊長(zhǎng)為6 c的等邊三角形中，其一邊上高的長(zhǎng)度為_(kāi)_________．
15．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB＝14 c，則陰影部分的面積是__________ c2.

16．如圖，等邊△ABC中，D，E分別是AB，BC邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且總使AD＝BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則FGAF＝__________.

17．如圖，直線l1∥l2，以直線l1上的點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于點(diǎn)B，C，連接AC，BC．若∠ABC＝67°，則∠1＝__________.

18．如圖，△ABC中，AC＝BC，把△ABC沿AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，連接BD，若∠ACB＝100°，則∠CBD＝________°.

三、解答題(共66分)
19．(6分)在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出了如圖所示的圖形，并寫下了四個(gè)等式：
①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠DCE.

要求同學(xué)們從這四個(gè)等式中選出兩個(gè)作為條件，推出△AED是等腰三角形．請(qǐng)你試著完成王老師提出的要求，并說(shuō)明理由．(寫出一種即可)
已知：
求證：△AED是等腰三角形．
證明：
20．(6分)已知：如圖，銳角△ABC的兩條高CD，BE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC，

(1)求證：△ABC是等腰三角形；
(2)判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上，并說(shuō)明理由．
21．(8分)如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點(diǎn)F，連接CD，EB．

(1)圖中還有幾對(duì)全等三角形，請(qǐng)你一一列舉；
(2)求證：CF＝EF.
22．(8分)如圖，甲、乙兩船同時(shí)從港口A出發(fā)，甲船以60海里/時(shí)的速度沿北偏東60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小時(shí)后甲船到達(dá)C點(diǎn)，乙船正好到達(dá)甲船正西方向的B點(diǎn)，求乙船的速度．(3≈1.7)

23．(9分)下面材料：
問(wèn)題：如圖(1)，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，若∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝45°，DC＝2.求BD的長(zhǎng)．
小明同學(xué)的解題思路是：利用軸對(duì)稱，把△ADC進(jìn)行翻折，再經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算使問(wèn)題得到解決．
(1)請(qǐng)你回答：圖中BD的長(zhǎng)為_(kāi)____ ___；
(2)參考小明的思路，探究并解答問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，若∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝30°，DC＝2，求BD和AB的長(zhǎng)．

24．(9分)問(wèn)題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，點(diǎn)D是射線CB上任意一點(diǎn)，△ADE是等邊三角形，且點(diǎn)D在∠ACB的內(nèi)部，連接BE.探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系．
請(qǐng)你完成下列探究過(guò)程：
先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行 分析并加以證明．
(1)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖2)，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形．由∠BAC的度數(shù)為_(kāi)_____，點(diǎn)E落在________________，容易得出BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________；
(2)當(dāng)點(diǎn)D在如圖3的位置時(shí)，請(qǐng)你畫出圖形，研究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系是否與(1)中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明．

25．(10分)如圖，△ABC為等邊三角形，P為BC上一點(diǎn)，△APQ為等邊三角形．

(1)求證：AB∥CQ.
(2)AQ與CQ能否互相垂直？若能互相垂直，指出點(diǎn)P在BC上的位置，并給予證明；若AQ與CQ不能互相垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．
26．(10分)( 1)把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如圖(1)放置，點(diǎn)D在BC上，連接BE，AD，AD的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)F.求證：AF⊥BE.

(2)把兩個(gè)含有30°角的直角三角板如圖(2)放置，點(diǎn)D在BC上，連接BE，AD，AD的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)F.問(wèn)AF與BE是否垂直？并說(shuō)明理由．

參考答案
一、1.A　2.C　3.C
4．B　∵∠BOD＝45°，∴∠AOC＝45°.
∵OE⊥AB，∴∠COE＝∠AOC＋∠AOE＝135 °.
5．B　6.A　7.B
8．A　由題意得AB＝AC＝12×(21－5)＝8.
∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.
∴BE＋BC＋CE＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8＋5＝13.
9．B　在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2＝132＝169，①
由三角形面積法可得，12AC•BC＝12CD•AB，
即2AC•BC＝156，②
①＋②，得(AC＋BC)2＝325，
所以AC＋BC＝513.
10．C　如圖，連接PD，由題知∠POD＝60°，OP＝OD，

∵∠1＋∠2＋60°＝180°，∠1＋∠A＋∠APO＝180°，
∴∠2＝∠APO.
同理∠1＝∠CDO.
∴△APO≌△COD.
∴AP＝OC＝AC－AO＝9－3＝6.
故選C.
二、11.80°
12．AC＝AE(或∠C＝∠E或∠B＝∠D)　由已知條件，根據(jù)SAS(AAS，ASA)定理，確定可補(bǔ)充的條件為AC＝AE(或∠C＝∠E或∠B＝∠D)．
13．115°　14.33 c　15.492　16.12　17.46°　18.10
三、19.解：本題答案不唯一：已知：①③.
證明：在△ABE和△DCE中，
∵∠B＝∠C，∠AEB＝∠DEC，AB＝DC，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，即△AED是等腰三角形．
20．(1)證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵CD，BE是兩條高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB.
∴∠DBC＝∠ECB.∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：點(diǎn)O是在∠BAC的平分線上．連接AO，

∵△BDC≌△CEB，∴DC=EB.
∵OB=OC，∴OD=OE.
∵∠BDC=∠CEB=90°，
∴點(diǎn)O是在∠BAC的平分線上．
21．(1)解：△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.
(2)證明：如圖，連接CE.

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE.
∴∠A CE＝∠AEC.
又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴∠ACB＝∠AED.
∴∠ACE－∠ACB＝∠AEC－∠AED，即∠BCE＝∠DEC.
∴CF＝EF.
22．解：由題意得AC＝60×12＝30(海里)，∠ACB＝30°，∠BAC＝90°
在Rt△ABC中，∵tan 30°＝ABAC，
∴AB＝AC×tan 30°＝30×33＝103≈10×1.7＝17(海里)．
∴乙船的速度是17÷12＝34(海里/時(shí))．
答：乙船的速度約為34海里/時(shí)．
23．解：(1)BD＝22
(2)如圖，把△ADC沿AC翻折，得△AEC，連接DE，

∴△ADC≌△AEC.
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC=EC.
∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.
∴△CDE為等邊三角形．
∴DC=DE.
在AE上截取AF=AB，連接DF，
∴△ABD≌△AFD.
∴BD=DF.
在△ABD中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45°，
∴∠ADE=∠AED=75 °，∠ABD=105°.
∴∠AFD=105°.
∴∠DFE=75°.
∴∠DFE=∠DEF.
∴DF=DE.
∴BD=DC=2.
作BG⊥AD于點(diǎn)G，
∴在Rt△BDG中，BG=2.
∴在Rt△ABG中，AB=22.
24．解：(1)60°　 AB的中點(diǎn)處　BE＝DE　圖形如下．

(2)完成畫圖如下圖所示．

猜想：BE=DE.
證明：取AB的中點(diǎn)F，連接EF.
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠1=60°，CF=AF=12AB.
∴△ACF是等邊三角形．
∴AC=AF.
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠2=60°，AD=AE.∴∠1=∠2.
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠CAD=∠FAE.
∴△ACD≌△AFE(SAS)．
∴∠ACD=∠AFE=90°.
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴EF是AB的垂直平分線．
∴BE=AE.
∵△ADE是等邊三角形，
∴DE=AE.∴BE=DE.
25．(1)證明：∵△ABC和△APQ都為等邊三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAP＝∠CAQ ，
∴△ACQ≌△ABP(SAS)，
∴∠ACQ＝∠ABP＝60°.
又∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠ACQ，
∴AB∥CQ.
(2)解：當(dāng)點(diǎn)P在BC邊的中點(diǎn)時(shí)，∠AQC＝90°.
證明：∵P是BC的中點(diǎn)，
∴∠PAC＝12∠BAC＝30°.
∵∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAQ－∠PAC＝60°－30°＝30°，由(1)知∠ACQ＝60°，
∴∠AQC＝90°，∴AQ與CQ互相垂直．
26．解：(1)證明：在△ACD和△BCE中，
∵AC＝BC，∠DCA＝∠ECB＝90 °，DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠DAC＝∠EBC.
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC＝90°.
∴∠BFD＝90°.∴AF⊥BE.
(2)AF⊥BE.
理由：∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴BCAC＝ECDC＝tan 60°.
∴△DCA∽△ECB.∴∠DAC＝∠EBC.
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC＝90° .
∴∠BFD＝90°.∴AF⊥BE.

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