無(wú)理數(shù)定義：
即非有理數(shù)之實(shí)數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。 常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有大部分的平方根、π和e（其中后兩者同時(shí)為超越數(shù)）等。
無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。如圓周率π、等。

無(wú)理數(shù)性質(zhì)：
無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)就是無(wú)理數(shù)。換句話說(shuō)，就是不可以化為整數(shù)或者整數(shù)比的數(shù)
性質(zhì)1 無(wú)理數(shù)加（減）無(wú)理數(shù)既可以是無(wú)理數(shù)又可以是有理數(shù)
性質(zhì)2 無(wú)理數(shù)乘（除）無(wú)理數(shù)既可以是無(wú)理數(shù)又可以是有理數(shù)
性質(zhì)3 無(wú)理數(shù)加（減）有理數(shù)一定是無(wú)理數(shù)
性質(zhì)4 無(wú)理數(shù)乘（除）一個(gè)非0有理數(shù)一定是無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：
1、把有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都寫(xiě)成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫(xiě)成有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，
比如：4=4.0，=0.8，=0.33333……
而無(wú)理數(shù)只能寫(xiě)成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，
比如：=1.414213562…………
根據(jù)這一點(diǎn)，人們把無(wú)理數(shù)定義為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；
2、所有的有理數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比,而無(wú)理數(shù)不能。根據(jù)這一點(diǎn)，有人建議給無(wú)理數(shù)摘掉，把有理數(shù)改叫為“比數(shù)”，把無(wú)理數(shù)改叫為“非比數(shù)”。

無(wú)理數(shù)的識(shí)別：
判斷一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù)，關(guān)鍵就看它能不能寫(xiě)出無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，而把無(wú)理數(shù)寫(xiě)成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不但麻煩，而且還是我們利用現(xiàn)有知識(shí)無(wú)法解決的難題。
初中常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種類(lèi)型：
（1）含根號(hào)且開(kāi)方開(kāi)不盡的方根，但切不可認(rèn)為帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)；
（2）化簡(jiǎn)后含π的式子；
（3）不循環(huán)的無(wú)限小數(shù)。
掌握常見(jiàn)無(wú)理數(shù)的類(lèi)型有助于識(shí)別無(wú)理數(shù)。

無(wú)理數(shù)的歷史：
畢達(dá)哥拉斯（Pythagqras,約公元前885年至公元前400年間）是古希臘的大數(shù)學(xué)家。他證明許多重要的定理，包括后來(lái)以他的名字命名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股弦定理），即直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。畢達(dá)哥拉斯將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用得純熟之后，覺(jué)得不能只滿足于用來(lái)算題解題，于是他試著從數(shù)學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)大到哲學(xué)，用數(shù)的觀點(diǎn)去解釋一下世界。經(jīng)過(guò)一番刻苦實(shí)踐，他提出“凡物皆數(shù)”的觀點(diǎn)，數(shù)的元素就是萬(wàn)物的元素，世界是由數(shù)組成的，世界上的一切沒(méi)有不可以用數(shù)來(lái)表示的，數(shù)本身就是世界的秩序。在他死后大約200年，他的門(mén)徒們把這種理論加以研究發(fā)展，形成了一個(gè)強(qiáng)大的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。
公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）學(xué)派的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的（若正方形的邊長(zhǎng)為1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù)），這一不可公度性與畢氏學(xué)派的“萬(wàn)物皆數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，于是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門(mén)徒，于是希伯索斯被殘忍地扔進(jìn)了大海。
希伯索斯的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明了它不能同連續(xù)的無(wú)限直線等同看待，有理數(shù)并沒(méi)有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)”。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同芝諾悖論一同被稱為數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，對(duì)以后2000多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，促使人們從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向依靠證明，推動(dòng)了公理幾何學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分思想萌芽。
不可約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來(lái)眾說(shuō)紛紜，得不到正確的解釋，兩個(gè)不可通約的比值也一直認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)意大利著名畫(huà)家達(dá).芬奇稱之為“無(wú)理的數(shù)”，17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。
然而真理畢竟是淹沒(méi)不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無(wú)理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希伯索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名“無(wú)理數(shù)”——這就是無(wú)理數(shù)的由來(lái)。

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