一元二次方程的基本解法有開平、配、公式法和國式分解法．
對于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac稱為該方程的根的判別式．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即
當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即
當△＜0時，方程無實數(shù)根．
分析可以使用公式法直接求解，下面介紹的是采用因式分解法求解．
因為
所以
例2已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的較大根為a，方程x2+1998x-1999=0的較小根為β，求α-β的值．
解由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0，
(x+1999)(x-1)=0，
故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以α-β=1-(-1999)=2000
例3解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．
分析本題容易犯的錯誤是約去方程兩邊的(x-1)，將方程變?yōu)?x-1=4x+1，
所以x=-2，這樣就丟掉了x=1這個根．故特別要注意：用含有未知數(shù)的整式去除方程兩邊時，很可能導(dǎo)致方程失根．本題正確的解法如下．
解(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，
(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，
(x-1)(x+2)=0，
所以x1=1，x2=-2．
例4解方程：x2-3｜x｜-4=0．
分析本題含有絕對值符號，因此求解方程時，要考慮到絕對值的意義．
解法1顯然x≠0．當x＞0時，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．當x＜0時，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．
所以原方程的根為x1=4，x2=-4．
解法2由于x2=｜x｜2，所以
�。黿｜2-3｜x｜-4=0，
所以(｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，
所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．
所以x1=4，x2=-4．
例5已知二次方程
3x2-(2a-5)x-3a-1=0
有一個根為2，求另一個根，并確定a的值．
解由方程根的定義知，當x=2時方程成立，所以
3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，
故a=3．原方程為
3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，
例6解關(guān)于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．
分析含有字母系數(shù)的方程，一般需要對字母的取值范圍進行討論．
當c=0時，x1=x2=0；
當ac＞0(即a，c同號時)，方程無實數(shù)根．
例7若k為正整數(shù)，且關(guān)于x的方程
(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0
有兩個不相等的正整數(shù)根，求k的值．
解原方程變形、因式分解為
(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，
[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，
即
4，7．所以k=2，3使得x1，x2同時為正整數(shù)，但當k=3時，x1=x2=3，與題目不符，所以，只有k=2為所求．
例8關(guān)于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有實根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，確定m的取值范圍．
解不妨設(shè)方程的根α≥β，由求根公式得
｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6， 符合要求，所以m2≤1．
解設(shè)小球擺成正三角形時，每邊有x個球，則擺成正方形時每邊有(x-2)個球．此時正三角形共有球
此時正方形共有(x-2)2個球，所以
即x2-9x+8=0，x1=1，x2=8．
因為x-2≥1，所以x1=1不符合題意，舍去．所以x=8，此時共有球(x-2)2=36個．
例9有若干個大小相同的球，可將它們擺成正方形或正三角形，擺成正三角形時比擺成正方形時每邊多兩個球，求球的個數(shù)．
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