金臺區(qū)命題大賽高三數(shù)學(xué)（理）試卷

一、(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1．復(fù)數(shù) 在復(fù)平面中所對應(yīng)的點到原點的距離為
A． B． C．1 D．
2．設(shè)集合 ，則下列關(guān)系中不正確的是
A． B． C． D．
3．給出兩個命題：p: x=x的充要條件是x為正實數(shù)；q: 存在反函數(shù)的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù).則下列復(fù)合命題中的真命題是
A．p且q B．p或q C．┓p且q D．┓p或q
4．設(shè)向量 與 的模分別為6和5，夾角為120°，則 等于
A． B． C． D．
5．若 的展開式中 的系數(shù)是80，則實數(shù)a的值為
A．-2 B． C． D．2
6．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時， ，那么 的值為
A．3 B．-3 C．2 D．-2
7．若國際研究小組由來自3個國家的20人組成，其中A國10人，B國6人，C國4人，按分層抽樣法從中選10人組成聯(lián)絡(luò)小組，則不同的選法有（ ）種.
A． B． C． D．
8．函數(shù) 在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若 ，且當 時， ，設(shè) 則( )
A． 　　　　B． 　　　C． 　　　D．

9．已知 是 內(nèi)的一點，且 ，若 和 的面積分別為 ，則 的最小值是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．9

10.已知拋物線 與雙曲線 有相同的焦點 ，點 是兩曲線的一個交點，且 軸，若 為雙曲線的一條漸近線，則 的傾斜角所在的區(qū)間可能是（ ）
A． B． C． D．
12．設(shè)橢圓 ，右焦點F（c,0），方程 的兩個根分別為x1,x2，則點P（x1,x2）在
A．圓 內(nèi)B．圓 上
C．圓 外D．以上三種情況都有可能
二、題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.)
13．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的 的值是 ．

14.已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：c），可得這個幾何體的體積是 ．

15．湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下一個直徑為12c，深2c的空穴，則該球的表面積為_____________c2.（ ）
16．直線l： 過點 ，若可行域 的外接圓的直徑為 ，則實數(shù)n的值為________________.
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
17．(本小題滿分10分)已知向量 ，記
（1）求f(x)的值域及最小正周期；（2）若 ，其中 ，求角

18．(本小題滿分12分)設(shè)在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進行檢驗，每次任取一個，并且取出不再放回，若以 表示取出次品的個數(shù). 求 的分布列，期望及方差.

19．（本小題滿分12分）如圖，正三棱柱 所有棱長都是，是棱 的中點，是棱 的中點， 交 于點
（1）求證： ；
（2）求二面角 的大小（用反三角函數(shù)表示）；
（3）求點 到平面 的距離.

20．已知函數(shù) 且對于任意實數(shù) ，恒有
（1）求函數(shù) 的解析式；
（2）已知函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，求實數(shù) 的取值范圍；
（3）函數(shù) 有幾個零點？

21．（本小題滿分12分）已知曲線C上任意一點到點F（0，1）的距離比它到直線 的距離小1.
（1）求曲線C的方程；
（2）過點 當△AOB的面積為 時（O為坐標原點），求 的值.

金臺區(qū)命題大賽高三數(shù)學(xué)（理）試卷
命題單位：臥龍寺中學(xué) 姓名：張平安
參考答案

1.B 2.D 3.D 4.D 5.D 6.C 7.D 8. B 9. B 10. D 11.A 12 A
13. 4 14. 15． 16．8
17.（1）根據(jù)條件可知：

因為f(x)的定義域為
∴f(x)的值域為 ，f(x)的最小正周期為
（2）
所以， ，又因為 ，所以
所以
18． 的可能值為0，1，2. 若 =0表示沒有取出次品，其概率為 ；
同理 ∴ 的分布為

012
p

∴ ，
19．（1）證明：建立如圖所示，

∵
∴ 即AE⊥A1D， AE⊥BD ∴AE⊥面A1BD
（2）設(shè)面DA1B的法向量為
由 ∴取
設(shè)面AA1B的法向量為 ，
由圖可知二面角D—BA1—A為銳角，∴它的大小為arcos
（3） ，平面A1BD的法向量取
則B1到平面A1BD的距離d=
20. 解：（1） ，
依題意，對任意實數(shù) ，恒有
即
即
所以 ，……………………(1分)

所以 ……………………(2分)
（2）

……………………(3分)
函數(shù) 在（0，1）上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（0，1） 恒成立……………………(4分)

在（0，1）上恒成立
而 在（0，1）上單調(diào)遞減
為所求�！�…………………(6分)
（3） =

令 =0，解得
當 時， 當 時，
當 時， 當 時，
……………………(7分)
……………………(8分)
所以①當 時，函數(shù)沒有零點；……………………(9分)
②當 時，函數(shù)有四個零點；……………………(10分)
③當 或 時，函數(shù)有兩個零點；……………………(11分)
④當 時，函數(shù)有三個零點；……………………(12分)
21．（1） 的距離小于1，
∴點在直線l的上方，點到F（1，0）的距離與它到直線 的距離相等 ，所以曲線C的方程為
（2）當直線的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點，不合題意，
設(shè)直線的方程為 ，
代入 （*） 與曲線C恒有兩個不同的交點 設(shè)交點A，B的坐標分別為 ，
則

點O到直線的距離 ，
，
（舍去）
當 方程（*）的解為 若
若 當 方程（☆）的解為
若
若 所以，

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