望江四中屆高三上學期第一次月考數學(文)本試卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)兩部分。答題時120分鐘,滿分150分。第Ⅰ卷(選擇題共10小題,每小題5分,共50分)一、選擇題(每小題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求.)1.若集合 , ,則 ( )A. B. C. D. 答案:A解析:集合A={ },A={ },所以, 2.設 是虛數單位,則“x=-3”是“復數z=(x2+2x-3)+(x-1)i為純虛數”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:C【解析】若復數z=(x2+2x-3)+(x-1)i為純虛數,則 ,所以“x=-3”是“復數z=(x2+2x-3)+(x-1)i為純虛數”的充要條件。3.已知 為等差數列,若 ,則 的值為( )A. B. C. D. 答案:D解析:因為 為等差數列,若 ,所以, ,4. 下列四個函數中,既是奇函數又在定義域上單調遞增的是( 。A. B. C. D. 答案:C【解析】A、D既不是奇函數,也不是偶函數,排除,B只是在區(qū)間上遞增,只以C符合。5. 已知函數 有且僅有兩個不同的零點 , ,則( )A.當 時, , B.當 時, , C.當 時, , D.當 時, , 答案:B解析:函數求導,得: ,得兩個極值點: 因為函數f(x)過定點(0,-2),有且僅有兩個不同的零點,所以,可畫出函數圖象如下圖:因此,可知, ,只有B符合。6. 函數 的最小正周期是( 。A. B. C.2π D.4π 答案:B【解析】函數 ,所以周期為 .7.函數 的零點所在的區(qū)間為( )A. B. C. D. 答案:D【解析】 <0, >0,所以,在 上有零點。8.設集合 是 的子集,如果點 滿足: ,稱 為集合 的聚點.則下列集合中以 為聚點的有: ; ② ; ③ ; ④ ( )A.①④B.②③C.①②D.①②④答案:A【解析】①中,集合 中的元素是極限為1的數列,∴在 的時候,存在滿足0<x-1<a的x,∴1是集合 的聚點②集合 中的元素是極限為0的數列,最大值為2,即|x-1|≥1對于某個a>1,不存在0<x-1 ,∴1不是集合 的聚點③對于某個a<1,比如a=0.5,此時對任意的x∈Z,都有x?1=0或者x?1≥1,也就是說不可能0<x?1<0.5,從而1不是整數集Z的聚點④ >0,存在0<x-1<0.5的數x,從而1是整數集Z的聚點故選A9. 一個盒子里有3個分別標有號碼為1,2,3的小球,每次取出一個,記下它的標號后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標號最大值是3的取法有( 。A.12種 B.15種 C.17種 D.19種答案:D解析:分三類:第一類,有一次取到3號球,共有 取法;第二類,有兩次取到3號球,共有 取法;第三類,三次都取到3號球,共有1種取法;共有19種取法。10.已知函數 ,定義函數 給出下列命題:① ; ②函數 是奇函數;③當 時,若 , ,總有 成立,其中所有正確命題的序號是( 。A.②B.①②C.③D.②③ 答案:D解析:① ,所以,錯誤;②當x>0時,-x<0,F(-x)=-f(-x)=-( )=-f(x)=F(x),為奇函數,同理可證當x<0時也是奇函數,正確;③因為n<0,不妨設>0,n<0,又+n>0,所以,||>|n|,= -( )= ,因為 ,所以,有 <0,正確。
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.)11.函數 的定義域為 。答案:(1,2]解析:由 ,解得: 12.數列 的通項公式 ,其前 項和為 ,則 .答案:1006解析: 所以 ,于是 。13.連擲兩次骰子得到的點數分別為 和 ,若記向量 與向量 的夾角為 ,則 為銳角的概率是 .答案: 解析: 連擲兩次骰子得到的點數記為 ,其結果有36種情況,若向量 與向量 的夾角 為銳角,則 ,滿足這個條件的有6種情況,所以 為銳角的概率是 。14.函數 在 上恒為正,則實數 的取值范圍是 .答案: 解析:當 時,函數 在 上為減函數, 不合題意;當 時,由題意得 在 上恒成立,即 在 上恒成立。函數 在 上是增函數,它的最小值為 ,要使 在 上恒成立,只需 。綜上,實數 的取值范圍是 15. 定義在 上的函數 ,如果對于任意給定的等比數列 , 仍是等比數列,則稱 為“等比函數”。現有定義在 上的如下函數:① ;② ;③ ;④ ,則其中是“等比函數”的 的序號為 .答案:③④【解析】若① ,則 ,所以不是常數,所以①不是“等比函數”。②若 , ,所以不是常數,所以②不是“等比函數”。③若 , ,所以是常數,所以③是“等比函數”。④若 ,則 , ,所以是常數,所以④是“等比函數”。所以是“等比函數”的 的序號為③④.
三、解答題(本大題共6小題,共75分.解答應寫出文字說明、證明過程)16.(本小題共12分)某同學在一次研究性學習中發(fā)現,以下五個式子的值都等于同一個常數 . ① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ . (1)從上述五個式子中選擇一個,求出常數 ; (2)根據(1)的計算結果,將該同學的發(fā)現推廣為一個三角恒等式,并證明你的結論.17.(本小題共12分)已知函數 。(1)當 時,求該函數的值域;(2)若 對于 恒成立,求 有取值范圍。
18.(本小題共12分)如圖,四棱錐 的底面 是正方形,棱 底面 , , 是 的中點.(1)證明 平面 ; (2)證明平面 平面 .
19.(本小題共12分)已知函數 (1)若 求 在 處的切線方程;(2)若 在區(qū)間 上恰有兩個零點,求 的取值范圍.
20.(本小題13分)已知拋物線的頂點在坐標原點,焦點在 軸上,且過點 .(1)求拋物線的標準方程;(2)與圓 相切的直線 交拋物線于不同的兩點 若拋物線上一點 滿足 ,求 的取值范圍.
21.(本小題14分)已知函數 ( ). (1)當 時,求函數 的單調區(qū)間;(2)當 時, 取得極值,求函數 在 上的最小值;
解答題參考答案三、解答題(本大題共6小題,共75分,解答應寫出文字說明、證明過程)16.解:(1)選擇②式計算. (2)猜想的三角恒等式為. 證明: .
17.解: (1)令 時, (2) 即 對 恒成立,所以 對 恒成立,易知函數 在 上的最小值為0.故 18.證明:(1)連結 ,設 與 交于 點,連結 .∵底面ABCD是正方形,∴ 為 的中點,又 為 的中點,∴ , ∵ 平面 , 平面 ,∴ 平面 . (2)∵ , 是 的中點, ∴ .∵ 底面 ,∴ .又由于 , ,故 底面 ,所以有 .又由題意得 ,故 .于是,由 , , 可得 底面 .故可得平面 平面 . 19.解: (1) 在 處的切線方程為 (2)由 由 及定義域為 ,令 ①若 在 上, , 在 上單調遞增, 因此, 在區(qū)間 的最小值為 . ②若 在 上, , 單調遞減;在 上, , 單調遞增,因此 在區(qū)間 上的最小值為 ③若 在 上, , 在 上單調遞減, 因此, 在區(qū)間 上的最小值為 . 綜上,當 時, ;當 時, ; 當 時, 可知當 或 時, 在 上是單調遞增或遞減函數,不可能存在兩個零點. 當 時,要使 在區(qū)間 上恰有兩個零點,則 ∴ 即 ,此時, . 所以, 的取值范圍為 20.解: (1) 設拋物線方程為 , 由已知得: 所以 所以拋物線的標準方程為 (2) 因為直線與圓相切, 所以 把直線方程代入拋物線方程并整理得: 由 得 或 設 , 則 由 得 因為點 在拋物線 上, 所以, 因為 或 , 所以 或 所以 的取值范圍為 21.解: (1) 當 時, 解 得 或 , 解 得 所以 單調增區(qū)間為 和 ,單調減區(qū)間為 (2)當 時, 取得極值, 所以 解得 (經檢驗 符合題意)
+0-0+???所以函數 在 , 遞增,在 遞減 當 時, 在 單調遞減, 當 時 在 單調遞減,在 單調遞增, 當 時, 在 單調遞增, 綜上, 在 上的最小值
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