來(lái)

第 節(jié)　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
【選題明細(xì)表】
知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)
數(shù)列的概念3、7
由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)4、10
遞推公式的應(yīng)用2、6
an與Sn的關(guān)系1、8、11
數(shù)列與函數(shù)5、9、12

一、
1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為(　A　)
(A)15(B)16(C)49(D)64
解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故選A.
2.(2015樂(lè)山市調(diào)研試題)在數(shù)列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2(n∈N+),則a10等于(　C　)
(A)34(B)36
(C)38(D) 40
解析:由題意知 = + ,
即 - = - ,
通過(guò)累加法可得, = ,
所以an=4n-2,
所以a10=38,
故選C.
3.下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是(　C　)
(A)1, , , ,…
(B)-1,-2,-3,-4,…
(C)-1,- ,- ,- ,…
(D)1, , ,…,
解析:根據(jù)定義,屬于無(wú)窮數(shù)列的是選項(xiàng)A、B、C(用省略號(hào)),屬于遞增數(shù)列的是選項(xiàng)C、D,故同時(shí)滿足要求的是選項(xiàng)C.故選C.
4.中國(guó)的刺繡有著悠久的歷史,如圖中(1)、(2)、(3)、(4)為刺繡時(shí)最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成的,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形,則f(6)=(　A　)

(A)61(B)64(C)65(D)66
解析:根據(jù)所給圖形的規(guī)律得,
f(1)=1,f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,…,f(n)-f(n-1)=4(n-1),再用累加法,
可得f(n)=2n2-2n+1,
所以f(6)=61.
故選A.
5.下面五個(gè)結(jié)論:①數(shù)列若用圖象表示,從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn);②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的;③數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的;④數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式;⑤將數(shù)列看做函數(shù),其定義域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正確的是(　B　)
(A)①②④⑤(B)①④⑤
(C)①③④(D)②⑤
解析:②中數(shù)列的項(xiàng)數(shù)也可以是有限的,③中數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一,故選B.
6.若數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2015,且an= (n≥3,n∈N*),則a2015等于(　B　)
(A)1(B)2015
(C) (D)-1
解析:因?yàn)閍1=1,a2=2015,
所以a3= = =2015;
a4= = =1;a5= = ;
a6= = = ;a7= = =1,
a8= = =2015,顯然a7=a1,a8=a2,
根據(jù)遞推關(guān)系,逐步代入,則得a9=a3,a10=a4,….
故該數(shù)列的項(xiàng)周期性出現(xiàn),其周期為6,a2015=a335×6+3=a3=2015,故選B.
二、題
7.在數(shù)列-1,0, , ,…, ,…中,0.08是它的第　　　項(xiàng).
解析:令 =0.08,得2n2-25n+50=0,
即(2n-5)(n-10)=0.解得n=10或n= (舍去).
∴a10=0.08.
答案:10
8. (2015吉林高三期末)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=n2+2n,則a4+a5+a6=　　　　.
解析:法一　n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1,
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3,符合公式,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
∴a4+a5+a6=3a5=3×11=33.
法二　a4+a5+a6=S6-S3=33.
答案:33
9.已知{an}是遞增數(shù)列,且對(duì)于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是　　　　.
解析:因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,
故對(duì)任意的n∈N*,
都有an+1>an,
即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,
整理,得2n+1+λ>0,
即λ>-(2n+1)(*).
因?yàn)閚≥1,故-(2n+1)≤-3,
要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.
答案:λ>-3
三、解答題
10.已知有限數(shù)列 , , , ,…, (≥7,且∈N*).
(1)指出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式;
(2)判斷0.98是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)?若是,是第幾項(xiàng)?
解:(1)因?yàn)榍皀項(xiàng)分子依次為4,9,16,25,…,可看成與序號(hào)n的關(guān)系式為(n+1)2;
而每一項(xiàng)的分母恰好比分子大1,
所以通項(xiàng)公式分母可為(n+1)2+1,
所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為
an= (n=1,2,…,-1).
(2)是,因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為an= ,
所以設(shè)0.98是這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng),
即 =0.98,
解得n=6∈N*(n=-8舍去),
所以0.98是數(shù)列中的第6項(xiàng).
11.已知下列數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(1)Sn=3n-2;
(2)Sn=n2an(n≥2),a1=1.
解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2×3n-1,
∴an=
(2)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,
即(n2-1)an=(n-1)2an-1,
∴ = ,
∴ = • • •…• • • = • • •…• × × = ,
∴an= .又當(dāng)n=1時(shí)a1= =1,
適合an= .
∴an= .
12.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-30.
(1)求數(shù)列的前三項(xiàng),60是此數(shù)列的第幾項(xiàng)?
(2)n為何值時(shí),an=0,an>0,an<0?
(3)該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn是否存在最值?說(shuō)明理由.
解:(1)由an=n2-n-30,得
a1=1-1-30=-30,
a2=22-2-30=-28,
a3=32-3-30=-24.
設(shè)an=60,則60=n2-n-30.
解之得n=10或n=-9(舍去).
∴60是此數(shù)列的第10項(xiàng).
(2)令an=n2-n-30=0,
解得n=6或n=-5(舍去).
∴a6=0.
令n2-n-30>0,
解得n>6或n<-5(舍去).
∴當(dāng)n>6(n∈N*)時(shí),an>0.
令n2-n-30<0,解得0<n<6.
∴當(dāng)0<n<6(n∈N*)時(shí),an<0.
(3)Sn存在最小值,不存在最大值.
由an=n2-n-30= -30 ,(n∈N*)
知{an}是遞增數(shù)列,且
a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,
故Sn存在最小值S5=S6,不存在Sn的最大值.

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