十九世紀末到二十世紀初，數學已發(fā)展成為一門龐大的學科，經典的數學部門已經建立起完整的體系：數論、代數學、幾何學、數學分析。數學家開始探訪一些基礎的問題，例如什么是數？什么是曲線？什么是積分？什么是函數？……另外，怎樣處理這些概念和體系也是問題。

經典的方法一共有兩類。一類是老的公理化的方法，不過非歐幾何學的發(fā)展，各種幾何學的發(fā)展暴露出它的許多毛��；另一類是構造方法或生成方法，這個辦法往往有局限性，許多問題的解決不能靠構造。尤其是涉及無窮的許多問題往往靠邏輯、靠反證法、甚至靠直觀。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是無法斷定的。

對于基礎概念的分析研究產生了一系列新領域—抽象代數學、拓撲學、泛函分析、測度論、積分論。而在方法上的完善，則是新公理化方法的建立，這是希爾伯特在1899年首先在《幾何學基礎》中做出的。

1初等幾何學的公理化

十九世紀八十年代，非歐幾何學得到了普遍承認之后，開始了對于幾何學基礎的探討。當時已經非常清楚，歐幾里得體系的毛病很多：首先，歐幾里得幾何學原始定義中的點、線、面等不是定義；其次，歐幾里得幾何學運用許多直觀的概念，如“介于……之間”等沒有嚴格的定義；另外，對于公理系統的獨立性、無矛盾性、完備性沒有證明。

在十九世紀八十年代，德國數學家巴士提出一套公理系統，提出次序公理等重要概念，不過他的體系中有的公理不必要，有些必要的公理又沒有，因此他公理系統不夠完美。而且他也沒有系統的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通過理想元素的引進，把度量幾何包括在射影幾何之中。

十九世紀八十年代末期起，皮亞諾和他的學生們也進行了一系列的研究。皮亞諾的公理系統有局限性；他的學生皮埃利的“作為演繹系統的幾何學”(1899)，由于基本概念太少(只有“點”和“運動”)而把必要的定義和公理弄得極為復雜，以致整個系統的邏輯關系極為混亂。

希爾伯特的《幾何學基礎》的出版，標志著數學公理化新時期的到來。希爾伯特的公理系統是其后一切公理化的楷模。希爾伯特的公理化思想極深刻地影響其后數學基礎的發(fā)展，他這部著作重版多次，已經成為一本廣為流傳的經典文獻了。

希爾伯特的公理系統與歐幾里得及其后任何公理系統的不同之處，在于他沒有原始的定義，定義通過公理反映出來。這種思想他在1891年就有所透露。他說：“我們可以用桌子、椅子、啤酒杯來代替點、線、面”。當然，他的意思不是說幾何學研究桌、椅、啤酒懷，而是在幾何學中，點、線、面的直觀意義要拋掉，應該研究的只是它們之間的關系，關系由公理來體現。幾何學是對空間進行邏輯分析，而不訴諸直觀。

希爾伯特的公理系統包括二十條公理，他把它們分為五組：第一組八個公理，為關聯公理（從屬公理）；第二組四個公理，為次序公理；第三組五個公理；第四組是平行公理；第五組二個，為連續(xù)公理。

希爾伯特在建立公理系統之后，首要任務是證明公理系統的無矛盾性。這個要求很自然，否則如果從這個公理系統中推出相互矛盾的結果來，那么這個公理系統就會毫無價值。希爾伯特在《幾何學基礎》第二章中證明了他的公理系統的無矛盾性。這次，他不能象非歐幾何那樣提出歐氏模型，他提出的是算術模型。

實際上，由解析幾何可以把點解釋為三數組(可以理解為坐標(x、y、z))，直線表示為方程，這樣的模型不難證明是滿足所有20個公理的。因此，公理的推論若出現矛盾，則必定在實數域的算術中表現出來。這就把幾何學公理的無矛盾性變成實數算術的無矛盾性。

其次，希爾伯特考慮了公理系統的獨立性，也就是說公理沒有多余的。一個公理如果由其他公理不能推出它來，它對其他公理是獨立的。假如把它從公理系統中刪除，那么有些結論就要受到影響。希爾伯特證明獨立性的方法是建造模型，使其中除了要證明的公理(比如說平行公理)之外其余的公理均成立，而且該公理的否定也成立。

由于這些公理的獨立性和無矛盾性，因此可以增減公理或使其中公理變?yōu)榉穸�，并由此得出新的幾何學。比如平行公理換成其否定就得到非歐幾何學；阿基米德公理（大意是一個短線段經過有限次重復之后，總可以超出任意長的線段）換成非阿基米德的公理就得到非阿基米德幾何學。希爾伯特在書中詳盡地討論了非阿基米德幾何學的種種性質。

希爾伯特對初等幾何公理的無矛盾性是相對于實數的無矛盾性，因此自然要進一步考慮實數系的公理化及其無矛盾性，于是首當其沖的問題是算術的公理化。

2算術的公理化

數學，顧名思義是一門研究數的科學。自然數和它的計算——算術是數學最明顯的出發(fā)點。歷史上不少人認為，所有經典數學都可以從自然數推導出來�？墒牵�一直到十九世紀末，卻很少有人解釋過什么是數？什么是0？什么是1？這些概念被認為是最基本的概念，它們是不是還能進一步分析，這是一些數學家關心的問題。因為一旦算術有一個基礎，其他數學部門也就可以安安穩(wěn)穩(wěn)建立在算術的基礎上。

什么東西可以做為算術的基礎呢？在歷史上有三種辦法：康托爾的基數序數理論，他把自然數建立在集合論的基礎上，并把自然數向無窮推廣；弗雷格和羅素把數完全通過邏輯詞匯來定義，把算術建立在純邏輯的基礎上；用公理化的方法通過數本身的性質來定義，其中最有名的是皮亞諾公理。

在皮亞諾之前，有戴德金的公理化定義。他的方法是準備向有理數、實數方面推廣，為數學分析奠定基礎。他們也都注意到邏輯是基礎，但都有非邏輯公理。

1888年，戴德金發(fā)表《什么是數，什么是數的目的？》一文，闡述他的數學觀點。他把算術(代數、分析)看成邏輯的一部分，數的概念完全不依賴人對空間、時間的表象或直覺。他說“數是人類心靈的自由創(chuàng)造，它們做為一個工具，能使得許許多多事物能更容易、更精確地板掌握”。而創(chuàng)造的方法正是通過邏輯。他的定義是純邏輯概念——類(system)，類的并與交，類之間的映射，相似映射(不同元素映到不同元素)等等。通過公理定義，戴德金證明數學歸納法。但是他沒有能夠直接從純邏輯名詞來定義數。

1889年，皮亞諾發(fā)表他的《算術原理：新的論述方法》，其中明顯地做了兩件事：第一，把算術明顯地建立在幾條公理之上；第二，公理都用新的符號來表達。后來皮亞諾刻劃數列也同弗雷格一樣是從0開始，但是他對數的概念也同戴德金一樣，是考慮序數。

皮亞諾的興趣主要在于清楚地表述了數學結果，他編制的數理邏輯符號（1894年發(fā)表于《數學論集》）也主要是如此，而不是為了哲學分析。1900年羅素從皮亞諾學習這套符號之后，才對邏輯、哲學同時也對數學產生了巨大沖擊。

從1894年到1908年，皮亞諾接連五次出版了《數學論集》的續(xù)集，每一次都把他提出的五個公理(只是用0代1)作為算術的基礎。但是皮亞諾除了邏輯符號之外，還有其他三個基本符號，即：數、零、后繼。因此，他還不象弗雷格及羅素那樣把數完全建立在邏輯基礎上。

他的公理系統也是有毛病的,特別是第五公理涉及所有性質，因此須要對性質或集合有所證明。有人把它改為可數條公理的序列，這樣一來，由公理系所定義的就不單純是自然數了。斯科蘭姆在1934年證明，存在皮亞諾公理系統購非標準模型，這樣就破壞了公理系統的范疇性。

3其他數學對象的公理化

在十九世紀末到二十世紀初的公理化浪潮中，一系列數學對象進行了公理化，這些公理化一般在數學中進行。例如由于解代數方程而引進的域及群的概念，在當時都是十分具體的，如置換群。只有到十九世紀后半葉，才逐步有了抽象群的概念并用公理刻劃它。群的公理由四條組成，即封閉性公理、兩個元素相加(或相乘)仍對應唯一的元素、運算滿足結合律、有零元素及逆元素存在。

群在數學中是無處不在的，但是抽象群的研究一直到十九世紀末才開始。當然，它與數理邏輯有密切的關系。有理數集體、實數集體、復數集體構成抽象域的具體模型，域的公理很多。另外，環(huán)、偏序集合、全序集合、格、布爾代數，都已經公理化。

另一大類結構是拓撲結構，拓撲空間在1914年到1922年也得到公理化，泛函分析中的希爾伯特空間，巴拿赫空間也在二十年代完成公理化，成為二十世紀抽象數學研究的出發(fā)點。在模型論中，這些數學結構成為邏輯語句構成理論的模型。

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