18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結(jié)。當(dāng)時(shí)哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個(gè)人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個(gè)問題。

圖 1                         圖 2

    
　　七橋問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783）的關(guān)注。他把具體七橋布局化歸為圖2所示的簡單圖形，于是，七橋問題就變成一個(gè)一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出這個(gè)簡單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)），并且最后返回起點(diǎn)？歐拉經(jīng)過研究得出的結(jié)論是：圖2是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個(gè)結(jié)論是如何產(chǎn)生呢？請(qǐng)看下面的分析。

　　如果我們從某點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出了某個(gè)圖形，到某一點(diǎn)終止，那么除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，畫筆每經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)一次，總有畫進(jìn)該點(diǎn)的一條線和畫出該點(diǎn)的一條線，因此就有兩條線與該點(diǎn)相連結(jié)。如果畫筆經(jīng)過一個(gè)n次，那么就有2n條線與該點(diǎn)相連結(jié)。因此，這個(gè)圖形中除起點(diǎn)與終點(diǎn)外的各點(diǎn)，都與偶數(shù)條線相連。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是不同的兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)部是與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)。綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點(diǎn)或者都是與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)，或者其中只有兩個(gè)點(diǎn)與奇數(shù)條線相連。

　　圖2中的A點(diǎn)與5條線相連結(jié)，B、C、D各點(diǎn)各與3條線相連結(jié)，圖中有4個(gè)與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)，所以不論是否要求起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，都不能一筆畫出這個(gè)圖形。

　　1736年，歐拉在圣彼得堡科學(xué)院作了一次學(xué)術(shù)報(bào)告。在報(bào)告中，他證明了上述結(jié)論。后來他又給出了鑒別任一圖形能否一筆畫出的準(zhǔn)則，即歐拉定理。為了介紹這個(gè)定理，我們先來看下面的預(yù)備知識(shí)：

　　由有限條線組成的圖形叫做網(wǎng)絡(luò)，其中每條線都要求有兩個(gè)不同的端點(diǎn)。這些線叫做網(wǎng)絡(luò)的弧，弧的端點(diǎn)叫做網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn)。例如，圖2是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，a、b、c、d、e、f、g是它的7條弧，A、B、C、D是它的四個(gè)頂點(diǎn)。

　　網(wǎng)絡(luò)中互相銜結(jié)的一串弧叫做一條路。如果網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)頂點(diǎn)都可以用一條路連結(jié)起來，那么就稱這個(gè)網(wǎng)絡(luò)為連通的；否則稱為不連通的。例如，圖2是連通的網(wǎng)絡(luò)；圖3是不連通的網(wǎng)絡(luò)，其中有的頂點(diǎn)（例如A與D）之間沒有路線連結(jié)。

 
圖 3                                      圖 4
 

　　網(wǎng)絡(luò)中以某頂點(diǎn)為端點(diǎn)的弧的條數(shù)，叫做該頂點(diǎn)的叉數(shù)。叉數(shù)是奇數(shù)的頂點(diǎn)叫做奇頂點(diǎn)，叉數(shù)是偶數(shù)的頂點(diǎn)叫做偶頂點(diǎn)。

　　下面介紹歐拉定理。

　　歐拉定理   如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是連通的并且奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。

　　用歐拉定理可以很方便地判斷一個(gè)簡單圖形是否可以一筆畫出。例如，圖3是不連通網(wǎng)絡(luò)，它不能一筆畫出（盡管它的奇頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為0）；圖4中實(shí)線所示圖形有8個(gè)奇頂點(diǎn)．它不能一筆畫出，如果將圖中虛線補(bǔ)為實(shí)線，那么奇頂點(diǎn)只有F和G兩個(gè)，所得圖形就能一筆畫出了（以F為起點(diǎn)，G為終點(diǎn)；或G為起點(diǎn)，F(xiàn)為終點(diǎn)）。

　　試問下列圖形能否一筆畫出？如能畫出應(yīng)怎樣畫？如不能畫出理由是什么？

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaozhong/213633.html

相關(guān)閱讀：高分經(jīng)驗(yàn)：怎樣學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)